1.अवकलनीयता (Differentiability),अवकलनीयता तथा सांतत्यता (Differentiability and Continuity)-

Differentiability

अवकलनीयता (Differentiability) को हम एक विशेष सीमा प्रक्रिया के प्रयोग से ज्ञात करने की विधि का अध्ययन करेंगे।यदि वक्र का समीकरण y=f(x) है तब फलन f(x) इस वक्र के किसी बिन्दु x=a पर अवकलनीय कहलाता है यदि वक्र के इस बिन्दु पर स्पर्श रेखा खींची जा सके।यदि बिन्दु x=a पर वक्र टूटा हुआ हो (Break) या इस बिन्दु पर वक्र अपनी दिशा बदल रहा हो तब फलन f(x) इस बिन्दु x=a पर अवकलनीय नहीं होगा। गणितीय रूप में अवकलनीयता का अध्ययन हम निम्न प्रकार करेंगे-
(1.)एक वास्तविक फलन f:(a, b) \rightarrow R बिन्दु c \in(a, b) पर अवकलनीय कहलाता यदि \lim _{x \rightarrow c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c} परिमित रूप से विद्यमान हो।यह सीमा फलन f का बिन्दु c पर अवकलज कहलाती है तथा इसे f'(c) से व्यक्त करते हैं।
(2.)फलन f बिन्दु c पर अवकलनीय होता है यदि प्रत्येक दिए हुए \varepsilon >0 के संगत \exists \delta>0 ताकि
\left|\frac{f(x)-f(c)}{x-c}-f^{\prime}(c) \right|<\varepsilon जबकि |x-c|<\delta
अर्थात् \Rightarrow f^{\prime}(c)-\varepsilon<\frac{f(x)-f(c)}{x-c}<f^{\prime}(c)+\varepsilon
(3.)फलन का बायां अवकलज (Left hand derivative of a function)-
कोई फलन f(x) अपने प्रान्त के किसी बिन्दु c पर बायीं तरफ से अवकलनीय कहलाता है यदि सीमा \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(c-h)-f(c)}{-h}, h>0 का मान विद्यमान एवं परिमित हो।सीमा के इस मान को संकेत में हम LDf(c) या Lf'(c) या f'(c-0) से व्यक्त करते हैं तथा इसे f(x) का बिन्दु c पर बायां अवकलज या वाम पक्षीय अवकलज कहते हैं।
(4.)फलन का दायां अवकलज (Right hand derivative of a function)-
कोई फलन f(x) अपने प्रान्त के किसी बिन्दु c पर दायीं तरफ से अवकलनीय कहलाता है।यदि सीमा \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h},h>0 का मान विद्यमान एवं परिमित हो।सीमा के इस मान को संकेत में हम RDf(c) या Rf'(c) या f'(c+0) से व्यक्त करते हैं तथा इसे f(x) का बिन्दु c पर दायां अवकलज या दक्षिण पक्षीय अवकलज कहते हैं।
(5.) अवकलनीय फलन (Differentiable function),अवकलनीयता सूत्र (Differentiability Formula)-
कोई फलन अपने प्रान्त के किसी बिन्दु c पर अवकलनीय कहलाता है यदि बिन्दु c पर इसके बायें तथा दायें अवकलज,परिमित रूप से विद्यमान हो तथा समान हो अर्थात्
f^{\prime}(c-0)=f^{\prime}(c+0) \\ \lim_{h \rightarrow 0} f(t)-\frac{f(c-h)-f(c)}{-h}=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}
टिप्पणी:निम्न स्थितियों में,फलन f(x) बिन्दु c पर अवकलनीय नहीं होगा यदि
(i) f^{\prime}(c-0) \neq f^{\prime}(c+0)
(ii)f'(c-0) तथा f'(c+0) में से कोई एक या दोनों अपरिमित हो।
(iii)f'(c-0) तथा f'(c+0) में से कोई एक या दोनों विद्यमान नहीं हो।
(6.)अन्तराल में अवकलनीयता (Differentiability in an interval)-
(i)फलन f(x) विवृत्त अन्तराल (a,b) में अवकलनीय कहलाता है यदि f(x) इस अन्तराल के प्रत्येक बिन्दु पर अवकलनीय हो।
(ii) फलन f(x) संवृत्त अन्तराल (a,b) में अवकलनीय कहलाता है यदि
(a) f'(c) विद्यमान है जबकि C \in(a, b)
(b) बिन्दु a पर f(x) का दायां अवकलज विद्यमान है जबकि
(b) बिन्दु a पर f(x) का दायां अवकलज विद्यमान हो।
(c) बिन्दु b पर f(x) का दायां अवकलज विद्यमान हो।
(7.)कुछ महत्त्वपूर्ण परिणाम (Some Important Results)-
(i) दिए गए अन्तराल के किसी बिन्दु c पर अवकलनीय फलन आवश्यक रूप से संतत होता है परन्तु इस अन्तराल में संतत फलन का अवकलनीय होना आवश्यक नहीं है।स्पष्ट है कि यदि कोई फलन संतत नहीं है तो वह निश्चित रूप से अवकलनीय भी नहीं होगा।
टिप्पणी:किसी फलन की किसी बिन्दु पर अवकलनीयता का परीक्षण करने से पूर्व उस बिन्दु पर इस फलन की संततता का परीक्षण किया जाना चाहिए।फलन के संतत होने पर ही उसकी अवकलनीयता का परीक्षण करें।
(ii) प्रत्येक बहुपदीय,चरघातांकीय तथा अचर फलन, वास्तविक संख्याओं पर सदैव अवकलनीय होते हैं।
(iii) लघुगुणकीय फलन,त्रिकोणमितीय फलन अपने प्रान्त में अवकलनीय होते हैं।
(iv) दो अवकलनीय फलनों का योग,अन्तर,भागफल (जबकि हर शून्य नहीं हो) तथा संयुक्त फलन,सदैव अवकलनीय ही होते हैं।
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2.अवकलनीयता के उदाहरण (Examples of Differentiability)-

सिद्ध कीजिए कि निम्न फलन x के प्रत्येक मान के लिए अवकलनीय है:
Example-1.तत्समक फलन‌ f(x)=x
Solution-f(x)=x
x=c पर बायां अवकलज

L.H.D \quad L f^{\prime}(c) =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(c-h)-f(c)}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{c-h-c}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0}\left(\frac{h}{-n}\right) \\ =\lim _{h \rightarrow 0}(1) \\=1 \\ R.H.D \quad R f^{\prime}(c)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(c+h)-f}{h} \\=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{c+h-c}{h} \\=\lim _{h \rightarrow 0}\left(\frac{h}{h}\right) \\=\lim _{h \rightarrow 0}(1) \\=1 \\ L f^{\prime}(c)=R f^{\prime}(c)
अतः फलन f(x)=x,x के प्रत्येक मान के लिए अवकलनीय है।
Example-2.अचर फलन f(x)=c, जहां c अचर है।
Solution-f(x)=c
x=a पर बायां अवकलज

L.H.D \quad L f^{\prime}(a) =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a-h)-f(a)}{-h} \\=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{c-c}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{0}{(-h)} \\ =\lim _{h \rightarrow 0}(0) \\=0
x=a पर दायां अवकलज

R.H.D \quad R f^{\prime}(a) =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{c-c}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0}\left(\frac{0}{h}\right) \\ =\lim _{h \rightarrow 0}(0) \\ =0
अतः फलन f(x)=c,x के प्रत्येक मान के लिए अवकलनीय है।
Example-3.F(x)=e^{x}
Solution–F(x)=e^{x}
x=c पर बायां अवकलज

L.H.D \quad L f^{\prime}(c)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(c-h)-f(c)}{-h} \\=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{c-h}-e^{c}}{-h} \\=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{c}\left(e^{-h}-1\right)}{-h} \\=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{c}\left(1-h+\frac{h^{2}}{2 !}-\frac{h^{3}}{3!}+\cdots-1\right)}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{-h e^{c}\left(1-\frac{h}{2 !}+\frac{h^{2}}{31}-\cdots\right)}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} e^{c}\left(1-\frac{h}{2}+\frac{h^{2}}{3 !}-\cdots\right) \\L f^{\prime}=e^{c}
x=c पर दायां अवकलज

R.H.D \quad R f^{\prime}(c) =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h} \\=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{c+h}-e^{c}}{h} \\=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{c}\left(e^{h}-1\right)}{h} \\=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{c} \left[1 +\frac{h}{e}+\frac{h^{2}}{2}+\frac{h^{3}}{3 !}+\cdots-1\right]}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h e^{c} \left(1+\frac{h}{2 !}+\frac{h^{2}}{3 !}+\cdots\right)}{h} \\ R f^{\prime} =\lim _{h \rightarrow 0} e^{C} \\L f^{\prime}=R f^{\prime}
अतः फलन,x के प्रत्येक मान के लिए अवकलनीय है।
Example-4.F(x)=\sin x

Solution–F(x)=\sin x

x=c पर बायां अवकलज

L.H.D \quad L f^{\prime} (c)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(c-h)-f(c)}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin (c-h)-\sin C}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 \cos \left(\frac{c-h+c}{2}\right) \sin \left(\frac{c-h-c}{2}\right)}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 \cos (c-\frac{h}{2}) \sin (-\frac{h}{2})}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \cos \left(c-\frac{h}{2}\right)\left(\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\right) \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \cos (c-\frac{h}{2}) \lim _{h \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\right) \\=\cos C (1) \\ =\cos C
x=c पर दायां अवकलज

R.H.D \quad R f^{\prime}(c)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin (c+h)-\sin c}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 \cos \left(\frac{c+h+c}{2}\right) \sin \left(\frac{c+h-c}{2}\right)}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 \cos (c+\frac{h}{2}) \sin (\frac{h}{2})}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \cos (c+\frac{h}{2})\left(\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\right) \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \cos (c+\frac{h}{2}) \sin _{h \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\right) \\=\cos c(1) \\ =\cos c
Example-5. सिद्ध कीजिए कि निम्न फलन f(x)=|x| बिन्दु x=0 पर अवकलनीय नहीं है।

Solution-f(x)=|x|
x=0 पर बायां अवकलज

L.H.D \quad L f^{\prime}(0) =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(0-h)-f(0)}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{|0-h|-10 \mid}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{|-h|-0}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{-h} \\ \Rightarrow L f^{\prime}(0)=\lim _{h \rightarrow 0}(-1) \\ L f^{\prime}(0)=-1
x=0 पर दायां अवकलज

R.H.D \quad R f^{\prime}(0) =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{|0+h|-10 \mid}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{|h|-0}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0}(1) \\ R f^{\prime}(0) =1 \\ L f^{\prime}(0) \neq R f^{\prime}(0)
अतः फलन अवकलनीय नहीं है।
Example-6.फलन f(x)=|x-1|+|x| की बिन्दुओं x=0,1 पर अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए।
Solution-f(x)=|x-1|+|x|
x=0 पर बायां अवकलज 

L.H.D \quad L f^{\prime}(0) =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(0-h)-f(0)}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{|0-h-1|+|0-h |-1}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{|-h-1|+ \mid-h \mid-1}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1+h+h-1}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 h}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0}(-2) \\ Lf^{\prime}(0) =-2
x=0 पर दायां अवकलज

R.H.D \quad R f^{\prime}(0)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} \\ R f^{\prime}(0) =\frac{|0+h-1|+| 0+h|-| 0-1 \mid- \mid0 \mid}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{|h-1|+|h|-1}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{ \mid-(1-h) \mid+h-1}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1-h+h-1}{h} \\=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{0}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0}(0) \\ R f^{\prime}(0) =0 \\ L f^{\prime}(0) \neq R f^{\prime}(0)
फलन x=0 पर अवकलनीय नहीं है।
x=1 पर बायां अवकलज

L.H.D \quad L f^{\prime}(1) =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1-h)-f(1)}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{ \mid1-h-1 \mid+ \mid1-h \mid- \mid1-1 \mid- \mid1 \mid}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{ \mid-h \mid+ \mid 1-h \mid-1}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h+1-h-1}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{0}{(h)} \\=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{0}{(h)} \\ =\lim _{h \rightarrow 0}(0) \\ L f^{\prime}(1) =0
x=1 पर दायां अवकलज

R.H.D \quad R f^{\prime}(1) =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{|1+h-1|+|1+h|-|1-1|- \mid1 \mid}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{|h|+|1+h|-1}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h+1+h-1}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 h}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0}(2) \\ R f^{\prime}(1) =2 \\ L f^{\prime}(1) \neq R f^{\prime}(1)
अतः फलन x=1 पर अवकलनीय नहीं है।

Differentiability

Example-7.फलन f(x)=|x-1|+|x-2| की अन्तराल [0,2] में अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए।
Solution-f(x)=|x-1|+|x-2|
x=1 पर बायां अवकलज

L.H.D \quad L f^{\prime}(1)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1-h)-f(1)}{-h} \\= \lim _{h \rightarrow 0} \frac{|1-h-1|+|1-h-2|-|1-1|-|1-2|}{-h} \\= \lim _{h \rightarrow 0} \frac{|-h|+|-1-h|-|-1|}{-h} \\= \lim _{h \rightarrow 0} \frac{h+1+h-1}{-h} \\= \lim _{h \rightarrow 0}\left(\frac{2 h}{-h}\right) \\= \lim _{h \rightarrow 0}(-2) \\ L f^{\prime}(1)=(-2)
x=1 पर दायां अवकलज

R.H.D \quad R f^{\prime}(1)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{|1+h-1|+|1+h-2|-|1-1|-1|-2|}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{|h|+|h-1|-|-1|}{h} \\ = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{|h|+|-(1-h)|-1}{h}\\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h+1-h-1}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0}\left(\frac{0}{h}\right) \\ =\lim _{h \rightarrow 0}(0) \\ \Rightarrow R f^{\prime}(1) =0 \\ L f^{\prime}(1) \neq R f^{\prime}(1)
अतः फलन अन्तराल [0,2] में अवकलनीय नहीं है।
Example-8.निम्न फलन 

f(x)=\left\{\begin{array}{cl} x \tan ^{-1} x & \text { ; } x \neq 0 \\ 0 & \text { ; } x=0 \end{array}\right.
की बिन्दु x=0 पर अलकलनीयता का परीक्षण कीजिए।
Solution–f(x)=\left\{\begin{array}{cl} x \tan ^{-1} x & \text { ; } x \neq 0 \\ 0 & \text { ; } x=0 \end{array}\right.
x=0 पर बायां अवकलज

L.H.D \quad L f^{\prime}(0) =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(0-h)-f(0)}{-h} \\=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(0-h) \tan ^{-1}(0-h)-0}{-h} \\=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(-h) \tan ^{-1}(-h)}{-h} \\=\lim _{h \rightarrow 0} \tan ^{-1}(-h) \\ L f^{\prime}(0)=0
x=0 पर दायां अवकलज

R.H.D \quad R f^{\prime}(0) =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} \\=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(0+h) \tan ^{-1}(0+h)-0}{h} \\=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h \tan ^{-1} h}{h} \\=\lim _{h \rightarrow 0}\left(\tan ^{-1} h\right) \\ \Rightarrow R f^{\prime}(0) =0 \\ L f^{\prime}(0)=R f^{\prime}(0)
अतः फलन x=0 पर अवकलनीय है।
Example-9.फलन f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1-\cos x}{2} ; x \leq 0 \\ \frac{x-2 x^{2}}{2} ; x>0 \end{array}\right.
की बिन्दु x=0 पर अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए।
Solution–f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1-\cos x}{2} ; x \leq 0 \\ \frac{x-2 x^{2}}{2} ; x>0 \end{array}\right.
x=0 पर बायां अवकलज

L.H.D \quad L f^{\prime}(0) =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(0-h)-f(0)}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1-\cos (0-h)-\frac{1-\cos 0}{2}}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1-\cos h}{2}-\frac{1-1}{2}}{-h} \\=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1-\left(1-2 \sin ^{2} \frac {h}{2}\right)}{2}-0}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 \sin ^{2} h / 2}{-2 h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0}\left(-\frac{h}{4}\right) \lim _{h \rightarrow 0}\left(\frac{\sin ^{2} h / 2}{h^{2} / 4}\right) \\ =\lim _{h \rightarrow 0}\left(\frac{-h}{4}\right)\left(\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h / 2}\right)^{2} \\ \Rightarrow L f^{\prime}(0) =0 \quad(1)=0
x=0 पर दायां अवकलज

R f^{\prime}(0)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} \\ R f^{\prime}(0) =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{(0+h)-2(0+h)^{2}}{2}-\frac{1-\cos 0}{2}}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h-2 h^{2}}{2 h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1-2 h}{2} \\ R f^{\prime}(0)=\frac{1}{2} \\ L f^{\prime}(0) \neq R f^{\prime}(0)

अतः फलन x=0 पर अवकलनीय नहीं है।
Example-10.सिद्ध कीजिए कि निम्न फलन

f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{m} \cos (\frac{1}{ x}) & ; x \neq 0 \\ 0 & \text { ; } x=0 \end{array}\right.
(i)बिन्दु x=0 पर संतत है यदि m>0
(ii)बिन्दु x=0 पर अवकलनीय है यदि m>1
Solution– (i) f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{m} \cos (1 x) & ; x \neq 0 \\ 0 & \text { ; } x=0 \end{array}\right.
f(0)=0 ……..(1)
x=0 पर f(x) की सांतत्यता

L.H.L \quad f(0+0) =\lim _{h \rightarrow 0} f(0+h) \\ =\lim _{h \rightarrow 0}(0+h)^{m} \cos \left(\frac{1}{0-h}\right) \\ \Rightarrow f(0-0) =\lim _{h \rightarrow 0}(-h)^{m} \cos (\frac{1}{h}), h>0 ......(2)\\ \text { R.H.L. } \quad f(0+0) =\lim _{h \rightarrow 0} f(0+h) \\ =\lim _{h \rightarrow 0}(0+h)^{m} \cos \left(\frac{1}{0+h}\right) \\ \Rightarrow f(0+0)=\lim_{h \rightarrow 0} \cos (1 / h).....(3)
फलन f(x),बिन्दु x=0 पर संतत होगा यदि सीमा (2) तथा (3) अलग-अलग शून्य हों चूंकि ,-1 तथा 1 के बीच परिमित राशि है।अतः दोनों सीमाएं शून्य होंगी यदि m>0
(ii)x=0 पर बायां अवकलज

L.H.D \quad L f^{\prime}(0)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(0-h)-f(0)}{-h} \\ \Rightarrow L f^{\prime}(0) =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(0-h)^{m} \cos \left(\frac{1}{0-h}\right)-0}{-h} \\ \Rightarrow L f^{\prime}(0) =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(0-h)^{m} \cos \left(\frac{1}{0-h}\right)-0}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(-h)^{m} \cos (\frac{1}{h})}{-h} \\ \Rightarrow \quad L f^{\prime}(0) =\lim _{h \rightarrow 0}(-h)^{m-1} \cos(\frac{1}{h}) \\ \Rightarrow \quad L f^{\prime}(0) =\lim_{h \rightarrow 0}(-1)^{m-1} h^{m-1} \cos (\frac{1}{h})
x=0 पर दायां अवकलज

R.H.D \quad R f^{\prime}(0) =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} \\=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(0+h)^{m} \cos \left(\frac{1}{0+h}\right)-0}{h} \\=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h^{m} \cos \left(\frac{1}{h}\right)}{m} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} h^{m-1} \cos (\frac{1}{h})
फलन f(x),x=0 पर अवकलनीय होगा।यदि

L f^{\prime}(0) = R f^{\prime}(0)
यह तभी सम्भव होगा जबकि m-1>0 \Rightarrow  m>1 हो।
अतः फलन f(x),x=0 पर अवकलनीय होगा यदि m>1 हो।
Example-11.निम्न फलन की x=0 पर अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{1+e^{1 / x^{2}}} & ; x \neq 0 \\ 0; & x=0 \end{array}\right.
Solution– f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{1+e^{1 / x^{2}}} & ; x \neq 0 \\ 0; & x=0 \end{array}\right.
x=0 पर बायां अवकलज

L.H.D \quad L f^{\prime}(0) =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(0-h)-f(0)}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\left(\frac{1}{1+e^{\frac{1}{(1+h)^{2}}}}-0\right)}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{-h\left(1+e^{1 / h^{2}}\right)} \\R f^{\prime}(0)=-\infty
x=0 पर दायां अवकलज

R.H.D \quad R f^{\prime}(0)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} \\ = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{1+e^{\frac{1}{(0+h)^{2}}}}-0}{h} \\ = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h\left(1+e^{\frac{1}{h^{2}}}\right)} \\= \infty \\ L f^{\prime}(0) \neq R f^{\prime}(0)
अतः फलन x=0 पर अवकलनीय नहीं है।
Example-12.फलन f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{|x|}{x} & ; x \neq 0 \\ 1 & ; 3 x=0 \end{array}\right.
की बिन्दु x=0 पर अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए।
Solution–f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{|x|}{x} & ; x \neq 0 \\ 1 & ; 3 x=0 \end{array}\right.
x=0 पर बायां अवकलज

L.H.D \quad L f^{\prime}(0) =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(0-h)-f(0)}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{|0-h|}{0-h}-1}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{h}{-h}-1}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0}\frac{-1-1}{-h} \\ \Rightarrow L f^{\prime}(0) =\lim _{h \rightarrow 0}\left(\frac{2}{h}\right)=\infty
x=0 पर दायां अवकलज

R.H.D \quad R f^{\prime}(0) =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} \\=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{|0+h|}{0+h}-1}{h} \\=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{h-1}{h} \\=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1-1}{h} \\=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{0}{h} \\ =0 \\ L f^{\prime}(0) \neq R f^{\prime}(0)
अतः फलन x=0 पर अवकलनीय नहीं है।
Example-13.फलन f(x)=\left\{\begin{array}{l} 1+\sin x; 0<x<\frac{\pi}{2} \\ 2+(x-\frac{\pi}{2})^{2} ; x \geq \frac{\pi}{2} \end{array}\right.
की बिन्दु x=\frac{\pi}{2} पर अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए।
Solution-
x=\frac{\pi}{2} पर बायां अवकलज

L.H.D \quad L f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\lim _{h \rightarrow 0} f(\frac{\pi}{2}+h)-f (\frac{\pi}{2})}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1+\sin (\frac{\pi-h}{2})-\left[2+(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2})^{2}\right]}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1+\cos h-2}{-h} \\= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos h -1}{-h} \\ = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{1-2 \sin ^{2} \frac{h}{2}-1}{-h} \\ = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{-2 \sin ^{2} \frac{h}{2}}{-h} \\ = \lim _{h \rightarrow 0}\left(\frac{h}{2}\right)\left(\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\right)^{2} \\ L f^{\prime}(\frac{\pi}{2})= 0(1)=0
x=\frac{\pi}{2} पर दायां अवकलज

R.H.D \quad R f^{\prime}(\frac{\pi}{2})=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(\frac{\pi}{2}+h)-f(\frac{\pi}{2})}{h} \\ = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{2+(\frac{\pi}{2}+h-\frac{\pi}{2})^{2}-[2+(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2})^{2}]}{h} \\ = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{2+ h^{2}-2}{h} \\ = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{h^{2}}{h} \\ R f^{\prime}(\frac{\pi}{2}) =\lim _{h \rightarrow 0} h=0 \\ L f^{\prime}(\frac{\pi}{2}) = R f^{\prime}(\frac{\pi}{2})
अतः फलन x=\frac{\pi}{2} पर अवकलनीय है।
Example-14.m तथा n के मान ज्ञात कीजिए जबकि फलन

f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{2}+3 x+m, & \text{ जब } x \leq 1 \\ n x+2, & \text{ जब } x>1 \end{array}\right.
प्रत्येक बिन्दु पर अवकलनीय है।
Solution–L.H.D \quad f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{2}+3 x+m, & \text{ जब } x \leq 1 \\ n x+2, & \text{ जब } x>1 \end{array}\right. \\ f(1)=1+3(1)+m=4+m \\ R f^{\prime}(1)= \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{n(1+h)+2-(4+m)}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{n+2-4-m+n h}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow}\left[ \frac{n-m-2}{h}+\frac{n h}{h}\right] \\ =\lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{n-m-2}{n}+n\right]
फलन अवकलनीय है अतः Rf'(1) का मान अस्तित्व में है।यह तभी संभव होगा जब n-m-2=0  \Rightarrow n-m=2.....(1)

तब R.H.D \quad Lf^{\prime}(1)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1-h)-f(1)}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(1-h)+3(1-h)+m-(m+4)}{-h} \\ =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1-2 h+h^{2}+3-3 h+9 m-m-4}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0}\left(\frac{h^{2}-5 h}{-h}\right) \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{-h(5-h)}{-h} \\Lf^{\prime}(1) =5 \\ Lf^{\prime}(1)=Rf^{\prime}(1) \Rightarrow n=5
समीकरण (1) से 5-m=2 \Rightarrow m=3
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकलनीयता (Differentiability),अवकलनीयता तथा सांतत्यता (Differentiability and Continuity) को समझ सकते हैं।

3.अवकलनीयता की समस्याएं (Differentiability Problems)-

(1.)फलन, f(x)=\sin x ,x के किन मानों के लिए अवकलनीय है।
(2.)फलन f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{2} \sin x & ; x \neq 0 \\ 0 & ; x=0 \end{array}\right. की x \in R के लिए अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए तथा f'(0) का मान ज्ञात कीजिए।
(3.)फलन f(x)=\left\{\begin{array}{cc} (x-a)^{2} \sin \left(\frac{1}{x-a}\right) & ; x \neq a \\ 0 & ; x=a \end{array}\right.
की बिन्दु x=a पर अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए।
(4.) सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=\left\{\begin{array}{lll} x^{2}-1 & ; & x \geq 1 \\ 1-x & ; & x<1 \end{array}\right.
बिन्दु x=1 पर अवकलनीय नहीं है।
(5.)फलन f(x)=\left\{\begin{array}{ll} -x & \text { ; } x \leq 0 \\ x & \text { ; } x>0 \end{array}\right.
की बिन्दु x=0 पर अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए।
(6.) सिद्ध कीजिए कि फलन  f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x \log _{e} \cos x ; & x \neq 0 \\ 0 ; & x=0 \end{array}\right.
बिन्दु x=0 पर अवकलनीय है।
उत्तर (Answers):(1.)R
(2.)प्रत्येक x \in R  के लिए अवकलनीय तथा f'(0)=0
(3.) अवकलनीय नहीं
(4.) अवकलनीय नहीं
(5.) अवकलनीय नहीं
(6.) अवकलनीय
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकलनीयता (Differentiability),अवकलनीयता तथा सांतत्यता (Differentiability and Continuity) को ठीक से समझा जा सकता है।

4.फलन की अवकलनीयता (Differentiability of a Function)-

Differentiability

अवकलनीयता की परिभाषा-किसी भी बिंदु पर अवकलनीय होने के लिए x =a अपने डोमेन में किसी फलन के लिए, यह उस विशेष बिंदु पर संतत होना चाहिए, लेकिन इसके विपरीत नहीं है।

5.अवकलनीयता की शर्त (Conditions for Differentiability)-

यदि बिंदु x_{0} पर f अवकलनीय है तो x_{0} पर f संतत भी होना चाहिए।विशेष रूप से, किसी भी अवकलनीय फ़ंक्शन को अपने डोमेन के प्रत्येक बिंदु पर संतत होना चाहिए।

6.अवकलनीयता की जांच कैसे करें? (How to check differentiability)-

Differentiability

पहले,जांचें कि x = 3,f(x) संतत है।यह देखना आसान है कि बाएं और दाएं पक्षों की सीमा 9 के बराबर है और f (3) = 9. अगला, x = 3 पर अवकलनीयता पर विचार करें। इसका मतलब है कि यह जाँचना कि f'(x) के बाएँ और दाएँ पक्षों की सीमा दोनों बराबर हैं।
उपर्युक्त उदाहरणों, सवालों को हल करके तथा प्रश्नों के उत्तर के द्वारा अवकलनीयता (Differentiability),अवकलनीयता तथा सांतत्यता (Differentiability and Continuity) को भली-भांति समझ सकते हैं।

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