1.कुछ विशिष्ट खण्डश: समाकलन (Some Special Integration by Parts)-

Some Special Integration by Parts

• कुछ विशिष्ट खण्डश: समाकलन (Some Special Integration by Parts) में उन फलनों के समाकल का अध्ययन करेंगे जिनमें कई बार दो फलनों के गुणनफल का खण्डश: समाकलन विधि से समाकलन करते समय समाकल का अन्त नहीं होता,चाहे किसी भी फलन को प्रथम या द्वितीय चुनें।
• ऐसा चरघातांकी व त्रिकोणमितीय फलनों के गुणनफल में होता है।फलत: फलन का समाकलन करने के दो चरणों के बाद पुनः मूल समाकल आ जाता है तब पक्षों का पक्षान्तरण कर समाकल का मान ज्ञात किया जाता है।
  
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2.कुछ विशिष्ट खण्डश: समाकलन के उदाहरण और हल (Some Special Integration by Parts Examples and Solutions),खण्डश: समाकलन के उदाहरण और हल (Integration by parts examples and solutions)-

Example-1.\int { { e }^{ ax } } \sin { bx } dx
Solution-I=\int { { e }^{ ax } } \sin { bx } dx
\sin { bx } को प्रथम व { e }^{ ax } को द्वितीय फलन मानकर खण्डश: समाकलन करने पर-

I=\sin { bx } \int { { e }^{ ax }dx } -\int { \{ \frac { d }{ dx } (\sin { bx } )\int { { e }^{ ax }dx } \} dx } \\ =\sin { bx } .\frac { { e }^{ ax } }{ a } -\int { b\cos { bx } .\frac { { e }^{ ax } }{ a } dx } \\ =\frac { 1 }{ a } { e }^{ ax }\sin { bx } -\frac { b }{ a } \int { \cos { bx } { e }^{ ax } } dx\\ =\frac { 1 }{ a } { e }^{ ax }\sin { bx } -\frac { b }{ a } [\cos { bx } \int { { e }^{ ax }dx } -\int { \{ \frac { d }{ dx } (\cos { bx } )\int { { e }^{ ax }dx } \} } dx]\\ =\frac { 1 }{ a } { e }^{ ax }\sin { bx } -\frac { b }{ a } [\cos { bx } .\frac { { e }^{ ax } }{ a } +\int { b\sin { bx } } .\frac { { e }^{ ax } }{ a } dx]\\ I=\frac { 1 }{ a } { e }^{ ax }\sin { bx } -\frac { b{ e }^{ ax } }{ { a }^{ 2 } } \cos { bx } -\frac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } \int { { e }^{ ax }\sin { bx } dx } \\ \Rightarrow I=\frac { 1 }{ a } { e }^{ ax }\sin { bx } -\frac { b{ e }^{ ax } }{ { a }^{ 2 } } \cos { bx } -\frac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } I+{ C }_{ 1 }\\ \Rightarrow I+\frac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } I=\frac { 1 }{ a } { e }^{ ax }\sin { bx } -\frac { b{ e }^{ ax } }{ { a }^{ 2 } } \cos { bx } +{ C }_{ 1 }\\ \Rightarrow I(\frac { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } )=\frac { 1 }{ a } { e }^{ ax }\sin { bx } -\frac { b{ e }^{ ax } }{ { a }^{ 2 } } \cos { bx } +{ C }_{ 1 }\\ \Rightarrow I=\frac { a }{ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } { e }^{ ax }\sin { bx } -\frac { b }{ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } { e }^{ ax }\cos { bx } +C

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा कुछ विशिष्ट खण्डश: समाकलन (Some Special Integration by Parts) को समझ सकते हैं।
Example-2.\int { \sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } } dx
Solution-I=\int { \sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } } dx
यहां \sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } को प्रथम व इकाई को द्वितीय फलन मानकर खण्डश: समाकलन करने पर-

I=\sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } \int { 1.dx } -\int { \{ \frac { d }{ dx } \sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } \int { 1.dx } \} dx } \\ =\sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } .x-\int { \frac { 2x }{ 2\sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } } .xdx } \\ =x\sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } -\int { \frac { { x }^{ 2 } }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } } } dx\\ =x\sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } -\int { \frac { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } } } dx\\ =x\sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } -\int { \frac { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } } } dx+\int { \frac { { a }^{ 2 } }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } } } dx\\ =x\sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } -\int { \sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } dx } +{ a }^{ 2 }\log { \left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } \right| } +{ C }_{ 1 }\\ \Rightarrow I=x\sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } -I+{ a }^{ 2 }\log { \left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } \right| } +{ C }_{ 1 }\\ \Rightarrow 2I=x\sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } +{ a }^{ 2 }\log { \left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } \right| } +{ C }_{ 1 }\\ \Rightarrow I=\frac { x }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } +\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \log { \left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } \right| } +C

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा कुछ विशिष्ट खण्डश: समाकलन (Some Special Integration by Parts) को समझ सकते हैं।
Example-3.\int { \sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } dx
Solution-I=\int { \sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } dx\\ I=\sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \int { 1.dx } -\int { \{ \frac { d }{ dx } \sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \int { 1.dx } \} dx } \\ =\sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } .x-\int { \frac { 2x }{ 2\sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } .xdx } \\ =x\sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } -\int { \frac { { x }^{ 2 } }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } } dx\\ =x\sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } -\int { \frac { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } } dx\\ =x\sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } -\int { \frac { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } } dx-\int { \frac { { a }^{ 2 } }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } } dx\\ =x\sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } -\int { \sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } dx } -{ a }^{ 2 }\log { \left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \right| } +{ C }_{ 1 }\\ \Rightarrow I=x\sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } -I-{ a }^{ 2 }\log { \left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \right| } +{ C }_{ 1 }\\ \Rightarrow 2I=x\sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } -{ a }^{ 2 }\log { \left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \right| } +{ C }_{ 1 }\\ \Rightarrow I=\frac { x }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } +\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \log { \left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \right| } +C
Example-4.\int { \sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } } dx
Solution-I=\int { \sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } } dx\\ I=\sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } \int { 1.dx } -\int { \{ \frac { d }{ dx } \sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } \int { 1.dx } \} dx } \\ =\sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } .x-\int { \frac { 2x }{ 2\sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } } .xdx } \\ =x\sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } +\int { \frac { { x }^{ 2 } }{ \sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } } } dx\\ =x\sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } -\int { \frac { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } }{ \sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } } } dx\\ =x\sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } -\int { \frac { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }{ \sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } } } dx+\int { \frac { { a }^{ 2 } }{ \sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } } } dx\\ =x\sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } -\int { \sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } dx } +{ a }^{ 2 }\sin ^{ -1 }{ (\frac { x }{ a } ) } +{ C }_{ 1 }\\ \Rightarrow I=x\sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } -I+{ a }^{ 2 }\sin ^{ -1 }{ (\frac { x }{ a } ) } +{ C }_{ 1 }\\ \Rightarrow 2I=x\sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } +{ a }^{ 2 }\sin ^{ -1 }{ (\frac { x }{ a } ) } +{ C }_{ 1 }\\ \Rightarrow I=\frac { x }{ 2 } \sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } +\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \sin ^{ -1 }{ (\frac { x }{ a } ) } +C

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा कुछ विशिष्ट खण्डश: समाकलन (Some Special Integration by Parts) को समझ सकते हैं।

Some Special Integration by Parts

निम्न फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए (Integrate the following functions with respect to x)
Example-5.\int { \frac { { e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ { (1+{ x }^{ 2 }) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } } dx
Solution-I=\int { \frac { { e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ { (1+{ x }^{ 2 }) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } } dx\\ \Rightarrow I=\int { \frac { { e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ { (1+{ x }^{ 2 }) } } .\frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } } dx\\ I=\frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \int { \frac { { e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ { (1+{ x }^{ 2 }) } } } dx-\int { \{ \frac { d }{ dx } \frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \int { \frac { { e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ { (1+{ x }^{ 2 }) } } dx } } \} dx\\ \Rightarrow I=\frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \frac { { e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ a } -\int { (-\frac { 2x }{ 2{ (1+{ x }^{ 2 }) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } } \frac { { e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ a } dx)\\ [put\quad a\tan ^{ -1 }{ x } =t\quad \Rightarrow \frac { a }{ 1+{ x }^{ 2 } } dx=dt]\\ \Rightarrow I=\frac { 1 }{ a } \frac { { e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } +\frac { 1 }{ a } \int { \frac { x{ e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ { (1+{ x }^{ 2 }) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } dx } \\ =\frac { 1 }{ a } \frac { { e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } +\frac { 1 }{ a } \int { \frac { { e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ { (1+{ x }^{ 2 }) } } .\frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } dx } \\ =\frac { 1 }{ a } \frac { { e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } +\frac { 1 }{ a } [\frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \int { \frac { { e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ { (1+{ x }^{ 2 }) } } dx } -\int { \{ \frac { d }{ dx } \frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \int { \frac { { e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ { (1+{ x }^{ 2 }) } } dx } \} } dx]\\ =\frac { 1 }{ a } \frac { { e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } +\frac { 1 }{ a } [\frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } .\frac { { e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ a } -\int { \{ \frac { \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } .1-\frac { x.x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } }{ 1+{ x }^{ 2 } } .\frac { { e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ a } \} } dx]\\ =\frac { 1 }{ a } \frac { { e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } +\frac { 1 }{ { a }^{ 2 } } \frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } { e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } }-\frac { 1 }{ { a }^{ 2 } } \int { \frac { 1+{ x }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }{ { (1+{ x }^{ 2 }) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } .{ e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } } dx\\ =\frac { 1 }{ a } \frac { { e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } +\frac { 1 }{ { a }^{ 2 } } \frac { x{ e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } -\frac { 1 }{ { a }^{ 2 } } \int { \frac { { e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ { (1+{ x }^{ 2 }) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } } dx+{ C }_{ 1 }\\ I=\frac { 1 }{ a } \frac { { e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } +\frac { 1 }{ { a }^{ 2 } } \frac { x{ e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } -\frac { 1 }{ { a }^{ 2 } } I+{ C }_{ 1 }\\ I+\frac { 1 }{ { a }^{ 2 } } I=\frac { 1 }{ a } \frac { { e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } +\frac { 1 }{ { a }^{ 2 } } \frac { x{ e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } +{ C }_{ 1 }\\ I(\frac { { a }^{ 2 }+1 }{ { a }^{ 2 } } )=\frac { 1 }{ a } \frac { { e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } +\frac { 1 }{ { a }^{ 2 } } \frac { x{ e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } +{ C }_{ 1 }\\ I=(\frac { { a } }{ { a }^{ 2 }+1 } )\frac { { e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } +(\frac { { 1 } }{ { a }^{ 2 }+1 } )\frac { x{ e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } +{ C }_{ 1 }\\ I=(\frac { { a } }{ { a }^{ 2 }+1 } )\frac { { e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } +(\frac { { 1 } }{ { a }^{ 2 }+1 } )\frac { x{ e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } +C\\ I=\frac { { e }^{ a\tan ^{ -1 }{ x } } }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } [\frac { a+x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } ]+C

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा कुछ विशिष्ट खण्डश: समाकलन (Some Special Integration by Parts) को समझ सकते हैं।
Example-6.\int { { e }^{ \frac { x }{ \sqrt { 2 } } } } \cos { (x+\alpha ) } dx
Solution–I=\int { { e }^{ \frac { x }{ \sqrt { 2 } } } } \cos { (x+\alpha ) } dx\\ =\cos { (x+\alpha ) } \int { { e }^{ \frac { x }{ \sqrt { 2 } } }dx } -\int { \{ \frac { d }{ dx } \cos { (x+\alpha ) } \int { { e }^{ \frac { x }{ \sqrt { 2 } } }dx } \} } dx\\ =\cos { (x+\alpha ) } .\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { e }^{ \frac { x }{ \sqrt { 2 } } }-\int { \{ -\sin { (x+\alpha ) } .\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { e }^{ \frac { x }{ \sqrt { 2 } } }dx\} } \\ =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { e }^{ \frac { x }{ \sqrt { 2 } } }\cos { (x+\alpha ) } +\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \int { { e }^{ \frac { x }{ \sqrt { 2 } } }\sin { (x+\alpha ) } dx } \\ =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { e }^{ \frac { x }{ \sqrt { 2 } } }\cos { (x+\alpha ) } +\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } [\sin { (x+\alpha ) } \int { { e }^{ \frac { x }{ \sqrt { 2 } } }dx } -\int { \{ \frac { d }{ dx } \sin { (x+\alpha ) } \int { { e }^{ \frac { x }{ \sqrt { 2 } } }dx } \} } dx]\\ =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { e }^{ \frac { x }{ \sqrt { 2 } } }\cos { (x+\alpha ) } +\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \sin { (x+\alpha ) } \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { e }^{ \frac { x }{ \sqrt { 2 } } }-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \int { \cos { (x+\alpha ) } \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { e }^{ \frac { x }{ \sqrt { 2 } } } } dx\\ \Rightarrow I=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { e }^{ \frac { x }{ \sqrt { 2 } } }\cos { (x+\alpha ) } +\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ \frac { x }{ \sqrt { 2 } } }\sin { (x+\alpha ) } -\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \int { \cos { (x+\alpha ) } \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { e }^{ \frac { x }{ \sqrt { 2 } } } } dx\\ =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { e }^{ \frac { x }{ \sqrt { 2 } } }\cos { (x+\alpha ) } +\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ \frac { x }{ \sqrt { 2 } } }\sin { (x+\alpha ) } -\frac { 1 }{ 2 } I+{ C }_{ 1 }\\ \Rightarrow I+\frac { 1 }{ 2 } I=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { e }^{ \frac { x }{ \sqrt { 2 } } }\cos { (x+\alpha ) } +\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ \frac { x }{ \sqrt { 2 } } }\sin { (x+\alpha ) } +{ C }_{ 1 }\\ \Rightarrow \frac { 3 }{ 2 } I=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { e }^{ \frac { x }{ \sqrt { 2 } } }\cos { (x+\alpha ) } +\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ \frac { x }{ \sqrt { 2 } } }\sin { (x+\alpha ) } +{ C }_{ 1 }\\ \Rightarrow I=\frac { \sqrt { 2 } }{ 3 } { e }^{ \frac { x }{ \sqrt { 2 } } }\cos { (x+\alpha ) } +\frac { 1 }{ 3 } { e }^{ \frac { x }{ \sqrt { 2 } } }\sin { (x+\alpha ) } +{ C }\\ \Rightarrow I=\frac { 2 }{ 3 } { e }^{ \frac { x }{ \sqrt { 2 } } }[\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \cos { (x+\alpha ) } +\sin { (x+\alpha ) } ]+C

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा कुछ विशिष्ट खण्डश: समाकलन (Some Special Integration by Parts) को समझ सकते हैं।
Example-7.\int { \cos { (b\log { \frac { x }{ a } } ) } dx }
Solution–I=\int { \cos { (b\log { \frac { x }{ a } } ) } dx } \\ =\cos { (b\log { \frac { x }{ a } } ) } \int { 1.dx } -\int { \{ \frac { d }{ dx } \cos { (b\log { \frac { x }{ a } } )\int { 1.dx } } \} } dx\\ =\cos { (b\log { \frac { x }{ a } } ) } .x+\int { \{ \sin { (b\log { \frac { x }{ a } } ) } .\frac { b }{ x } .xdx\} } dx\\ =x.\cos { (b\log { \frac { x }{ a } } ) } +b\int { \{ \sin { (b\log { \frac { x }{ a } } ) } \} } dx\\ I=x.\cos { (b\log { \frac { x }{ a } } ) } +b[\sin { (b\log { \frac { x }{ a } } ) } \int { 1. } dx-\int { \{ \frac { d }{ dx } \sin { (b\log { \frac { x }{ a } } ) } \int { 1.dx } } \} dx]\\ \Rightarrow I=x.\cos { (b\log { \frac { x }{ a } } ) } +bx\sin { (b\log { \frac { x }{ a } } ) } -b\int { \cos { (b\log { \frac { x }{ a } } ) } .\frac { b }{ x } .xdx } \\ \Rightarrow I=x.\cos { (b\log { \frac { x }{ a } } ) } +bx\sin { (b\log { \frac { x }{ a } } ) } -{ b }^{ 2 }\int { \cos { (b\log { \frac { x }{ a } } ) } dx } +{ C }_{ 1 }\\ \Rightarrow I=x.\cos { (b\log { \frac { x }{ a } } ) } +bx\sin { (b\log { \frac { x }{ a } } ) } -{ b }^{ 2 }I+{ C }_{ 1 }\\ \Rightarrow I+{ b }^{ 2 }I=x.\cos { (b\log { \frac { x }{ a } } ) } +bx\sin { (b\log { \frac { x }{ a } } ) } +{ C }_{ 1 }\\ \Rightarrow I(1+{ b }^{ 2 })=x[\cos { (b\log { \frac { x }{ a } } ) } +b\sin { (b\log { \frac { x }{ a } } ) } ]+{ C }_{ 1 }\\ \Rightarrow I=\frac { x }{ 1+{ b }^{ 2 } } [\cos { (b\log { \frac { x }{ a } } ) } +b\sin { (b\log { \frac { x }{ a } } ) } ]+{ C }

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा कुछ विशिष्ट खण्डश: समाकलन (Some Special Integration by Parts) को समझ सकते हैं।
Example-8 \int { { e }^{ 4x } } \cos { 4x } \cos { 2x } dx
Solution-I=\int { { e }^{ 4x } } \cos { 4x } \cos { 2x } dx\\ I=\frac { 1 }{ 2 } \int { { e }^{ 4x } } (2\cos { 4x } \cos { 2x } )dx\\ I=\frac { 1 }{ 2 } \int { { e }^{ 4x } } [\cos { (4x+2x) } +\cos { (4x-2x) } ]dx\\ I=\frac { 1 }{ 2 } \int { { e }^{ 4x } } [\cos { (6x) } +\cos { (2x) } ]dx\\ I=\frac { 1 }{ 2 } \int { { e }^{ 4x } } \cos { (6x) } dx+\frac { 1 }{ 2 } \int { { e }^{ 4x } } \cos { (2x) } dx\\ I={ I }_{ 1 }+{ I }_{ 2 }\\ { I }_{ 1 }=\frac { 1 }{ 2 } \cos { (6x) } \int { { e }^{ 4x } } dx-\frac { 1 }{ 2 } \int { \{ \frac { d }{ dx } \cos { (6x) } \int { { e }^{ 4x }dx } \} } dx\\ =\frac { 1 }{ 2 } \cos { (6x) } \frac { { e }^{ 4x } }{ 4 } +\frac { 1 }{ 2 } \int { 6\sin { 6x } .\frac { { e }^{ 4x } }{ 4 } } dx\\ =\frac { 1 }{ 8 } { e }^{ 4x }\cos { (6x) } +\frac { 3 }{ 4 } \int { { e }^{ 4x }\sin { 6x } } dx\\ =\frac { 1 }{ 8 } { e }^{ 4x }\cos { (6x) } +\frac { 3 }{ 4 } \sin { 6x } \int { { e }^{ 4x } } dx-\frac { 3 }{ 4 } \int { \{ \frac { d }{ dx } \sin { 6x } \int { { e }^{ 4x }dx } \} } dx\\ =\frac { 1 }{ 8 } { e }^{ 4x }\cos { (6x) } +\frac { 3 }{ 4 } \sin { 6x } .\frac { { e }^{ 4x } }{ 4 } -\frac { 3 }{ 4 } \int { \{ 6\cos { 6x } .\frac { { e }^{ 4x } }{ 4 } \} } dx+{ C }_{ 1 }\\ =\frac { 1 }{ 8 } { e }^{ 4x }\cos { (6x) } +\frac { 3 }{ 16 } { e }^{ 4x }\sin { 6x } -\frac { 9 }{ 8 } \int { { e }^{ 4x }\cos { 6x } } dx+{ C }_{ 1 }\\ { I }_{ 1 }(1+\frac { 9 }{ 4 } )=\frac { 1 }{ 8 } { e }^{ 4x }\cos { (6x) } +\frac { 3 }{ 16 } { e }^{ 4x }\sin { 6x } +{ C }_{ 1 }\\ \frac { 13 }{ 4 } { I }_{ 1 }=\frac { 1 }{ 8 } { e }^{ 4x }\cos { (6x) } +\frac { 3 }{ 16 } { e }^{ 4x }\sin { 6x } +{ C }_{ 1 }\\ { I }_{ 1 }=\frac { 1 }{ 13 } [\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ 4x }\cos { (6x) } +\frac { 3 }{ 4 } { e }^{ 4x }\sin { 6x } ]+{ C }_{ 2 }
इसी प्रकार

{ I }_{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \int { { e }^{ 4x } } \cos { (2x) } dx\\ =\frac { 1 }{ 2 } \cos { (2x) } \int { { e }^{ 4x } } dx-\frac { 1 }{ 2 } \int { \{ \frac { d }{ dx } \cos { (2x) } \int { { e }^{ 4x }dx } \} } dx\\ =\frac { 1 }{ 2 } \cos { (2x) } \frac { { e }^{ 4x } }{ 4 } +\frac { 1 }{ 2 } \int { 2\sin { 2x } .\frac { { e }^{ 4x } }{ 4 } } dx\\ =\frac { 1 }{ 8 } { e }^{ 4x }\cos { (2x) } +\frac { 1 }{ 4 } \int { { e }^{ 4x }\sin { 2x } } dx\\ =\frac { 1 }{ 8 } { e }^{ 4x }\cos { (2x) } +\frac { 1 }{ 4 } \sin { 2x } \int { { e }^{ 4x } } dx-\frac { 1 }{ 4 } \int { \{ \frac { d }{ dx } \sin { 2x } \int { { e }^{ 4x }dx } \} } dx\\ =\frac { 1 }{ 8 } { e }^{ 4x }\cos { (2x) } +\frac { 1 }{ 4 } \sin { 2x } .\frac { { e }^{ 4x } }{ 4 } -\frac { 1 }{ 4 } \int { \{ 2\cos { 2x } .\frac { { e }^{ 4x } }{ 4 } \} } dx+{ C }_{ 3 }\\ =\frac { 1 }{ 8 } { e }^{ 4x }\cos { (2x) } +\frac { 1 }{ 16 } { e }^{ 4x }\sin { 2x } -\frac { 1 }{ 8 } \int { { e }^{ 4x }\cos { 2x } } dx+{ C }_{ 3 }\\ \Rightarrow { I }_{ 2 }+\frac { 1 }{ 4 } { I }_{ 2 }=\frac { 1 }{ 8 } { e }^{ 4x }\cos { (2x) } +\frac { 1 }{ 16 } { e }^{ 4x }\sin { 2x } +{ C }_{ 3 }\\ \Rightarrow { I }_{ 2 }=\frac { 1 }{ 5 } (\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ 4x }\cos { (2x) } +\frac { 1 }{ 4 } { e }^{ 4x }\sin { 2x } )+{ C }_{ 4 }\\ I=\frac { { e }^{ 4x } }{ 4 } [\frac { 1 }{ 13 } (4\cos { 6x } +6\sin { 6x } )+\frac { 1 }{ 5 } (2\cos { 2x } +\sin { 2x } )]+C

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा कुछ विशिष्ट खण्डश: समाकलन (Some Special Integration by Parts) को समझ सकते हैं।
Example-9.\int { \sqrt { 4-3x-2{ x }^{ 2 } } } dx
Solution-I=\int { \sqrt { 4-3x-2{ x }^{ 2 } } } dx\\ \Rightarrow I=\int { \sqrt { 2(2-\frac { 3 }{ 2 } x-{ x }^{ 2 }) } } dx\\ \Rightarrow I=\sqrt { 2 } \int { \sqrt { 2-(\frac { 3 }{ 2 } x+{ x }^{ 2 }) } } dx\\ \Rightarrow I=\sqrt { 2 } \int { \sqrt { 2-\{ { (\frac { 3 }{ 4 } ) }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 2 } x+{ x }^{ 2 }-{ (\frac { 3 }{ 4 } ) }^{ 2 }\} } } dx\\ \Rightarrow I=\sqrt { 2 } \int { \sqrt { 2+\frac { 9 }{ 16 } -{ (x+\frac { 3 }{ 4 } ) }^{ 2 } } } dx\\ \Rightarrow I=\sqrt { 2 } \int { \sqrt { \frac { 41 }{ 16 } -{ (x+\frac { 3 }{ 4 } ) }^{ 2 } } } dx\\ \Rightarrow I=\sqrt { 2 } \int { \sqrt { { (\frac { \sqrt { 41 } }{ 4 } ) }^{ 2 }-{ (x+\frac { 3 }{ 4 } ) }^{ 2 } } } dx\\ \Rightarrow I=\sqrt { 2 } [\frac { 1 }{ 2 } (x+\frac { 3 }{ 4 } )\sqrt { { (\frac { 5 }{ 4 } ) }^{ 2 }-{ (x+\frac { 3 }{ 4 } ) }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ 2 } (\frac { 25 }{ 16 } )\sin ^{ -1 }{ (\frac { x+\frac { 3 }{ 4 } }{ \frac { \sqrt { 41 } }{ 4 } } ) } ]+C

सूत्र \int { \sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } } dx=\frac { x }{ 2 } \sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } +\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \sin ^{ -1 }{ (\frac { x }{ a } ) }  से 

\Rightarrow I=\sqrt { 2 } [(\frac { 4x+3 }{ 8 } )\sqrt { 2-\frac { 3 }{ 2 } x-{ x }^{ 2 } } +\frac { \sqrt { 41 } }{ 32 } \sin ^{ -1 }{ (\frac { 4x+3 }{ \sqrt { 41 } } ) } ]+C\\ \Rightarrow I=(\frac { 4x+3 }{ 8 } )\sqrt { 4-3x-2{ x }^{ 2 } } +\frac { \sqrt { 41 } }{ 16\sqrt { 2 } } \sin ^{ -1 }{ (\frac { 4x+3 }{ \sqrt { 41 } } ) } +C
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कुछ विशिष्ट खण्डश: समाकलन (Some Special Integration by Parts) को समझ सकते हैं।

3.कुछ विशिष्ट खण्डश: समाकलन की समस्याएं (Some Special Integration by Parts Problems)-

Some Special Integration by Parts

निम्न फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए (Integrate the following functions with respect to x)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कुछ विशिष्ट खण्डश: समाकलन (Some Special Integration by Parts) को ठीक से समझा जा सकता है।

(1){ e }^{ 2x }\cos { x } \\ (2)\sin { (\log { x } } )\\ (3){ e }^{ x }\sin ^{ 2 }{ x } \\ (4){ e }^{ a\sin ^{ -1 }{ x } }\\ (5)\sqrt { 2x-{ x }^{ 2 } } \\ (6)\sqrt { { x }^{ 2 }+4x+6 } \\ (7)\sqrt { { x }^{ 2 }+6x-4 } \\ (8)\sqrt { { 2x }^{ 2 }+3x+4 } \\ (9){ x }^{ 2 }\sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 6 } } \\ (10)(x+1)\sqrt { { x }^{ 2 }+1 }
उत्तर-(1)\frac { { e }^{ 2x } }{ 5 } [2\cos { x } +\sin { x } ]+C\\ (2)\frac { 1 }{ 2 } x[\sin { (\log { x } ) } -\cos { (\log { x } ) } ]+C\\ (3)\frac { { e }^{ x } }{ 2 } -\frac { { e }^{ x } }{ 10 } [\cos { 2x } +2\sin { 2x } ]+C\\ (4)\frac { { e }^{ a\sin ^{ -1 }{ x } } }{ 1+{ a }^{ 2 } } [x+a\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } +C\\ (5)\frac { x-1 }{ 2 } \sqrt { 2x-{ x }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ 2 } \sin ^{ -1 }{ (x-1) } +C\\ (6)\frac { x+2 }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 }+4x+6 } +\log { \left| (x+2)+\sqrt { { x }^{ 2 }+4x+6 } \right| } +C\\ (7)\frac { (x+3)\sqrt { { x }^{ 2 }+6x-4 } }{ 2 } +\frac { 13 }{ 2 } \log { \left| (x-2)+\sqrt { { x }^{ 2 }+6x-4 } \right| } +C\\ (8)\frac { 4x+3 }{ 8 } \sqrt { { 2x }^{ 2 }+3x+4 } +\frac { 23 }{ 16\sqrt { 2 } } \sin ^{ -1 }{ (\frac { 4x+3 }{ \sqrt { 23 } } ) } +C\\ (9)\frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 }\sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 6 } } +\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \sin ^{ -1 }{ (\frac { { x }^{ 3 } }{ a } ) } +C\\ (10)\frac { 1 }{ 3 } { ({ x }^{ 2 }+1) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }+\frac { x }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 }+1 } +\frac { 1 }{ 2 } \log { \left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }+1 } \right| } +C

4.आप खण्डश: समाकलन कैसे करते हैं? (How do you integrate by parts?),खण्डश: समाकलन सूत्र (Integration by parts formula)-

Some Special Integration by Parts

• खण्डश: समाकलन समाकल की एक विशेष विधि है जो अक्सर उपयोगी होती है जब दो फलनों को एक साथ गुणा किया जाता है,लेकिन अन्य तरीकों से भी उपयोगी होता है।
• आपको बहुत सारे उदाहरण जल्द ही दिखाई देंगे, लेकिन पहले हमें नियम देखने दें:
  \int { u.v } dx=u\int { vdx } -\int { \{ \frac { du }{ dx } \int { vdx } \} } dx
  u फ़ंक्शन है u (x)
  v फ़ंक्शन v (x) है

5.समाकलन में Liate नियम क्या है?
What is Liate rule in integration?)-

Some Special Integration by Parts

• LIATE rule
• अंगूठे का एक नियम प्रस्तावित किया गया है,जिसमें u के रूप में चुनने का कार्य है जो निम्नलिखित सूची में पहले नंबर पर आता है:
  L – logarithmic functions: ln(x),logb(x) etc.
  I – inverse trigonometric functions:
  arctan(x),arcsec(x),arcsec}(x),} etc.
  A – algebraic functions:x^{2},3x^50,x^{2} etc.
  T – trigonometric functions: sin(x),tan(x),sin(x),tan(x), etc.
  E – exponential functions: e^{x},19^{x},etc.
• फ़ंक्शन जो dV होना है वह सूची में अंतिम रूप से आता है: सूची में नीचे फलनों में उनके ऊपर के फलनों की तुलना में आसान एंटीडेरीवेटिव होते हैं।नियम को कभी-कभी “DETAIL” के रूप में लिखा जाता है जहां D ,dv के लिए प्रयुक्त होता है।

6. क्या आप किसी समाकल पर खण्डश: समाकलन का उपयोग कर सकते हैं? (Can you use integration by parts on any integral?)-

• खण्डश: समाकलन फलनों के गुणा को समाकल करने के लिए उपयोग किया जाता है।सामान्य तौर पर यह एक प्रभावी तरीका होगा यदि उन फलनों में से एक अवकलन होने पर सरल हो जाता है और दूसरा समाकल होने पर अधिक जटिल नहीं होता है।
• उदाहरण के लिए, इसका उपयोग x.cos (x) को समाकल करने के लिए किया जा सकता है।जब आप x को अवकलन करते हैं तो आपको 1 मिलता है, जो x की तुलना में सरल है,और जब आप cos (x) को समाकल करते हैं तो आपको sin (x) मिलता है, जो cos (x) से अधिक जटिल नहीं है।

7.आप कैसे जानते हैं कि भागों खण्डश: समाकलन का उपयोग कब करना है? (How do you know when to use integration by parts?)-

Some Special Integration by Parts

• खण्डश:समाकलन समाकलन की एक विशेष विधि है जो अक्सर उपयोगी होती है जब दो फलनों को एक साथ गुणा किया जाता है, लेकिन अन्य तरीकों से भी उपयोगी होता है।

8.सीमा के साथ खण्डश: समाकलन (Integration by parts with limits)-

• दो संबंधित लेकिन अलग-अलग ऑपरेशन हैं जिन्हें आपको उन हिस्सों के समाकलन के लिए करना होता है जब यह सीमा के बीच हो: किसी एक फ़ंक्शन के लिए एक एंटीडाइरेक्टिव (और दूसरे के अवकलज,लेकिन यह वह जगह नहीं है जहां आपकी समस्या निहित है),और इसके मूल्य का पता लगाना सीमाओं के बीच अवकलज,जिसे हम सामान्य रूप से (लेकिन जरूरी नहीं) एक सतत एन्टीडेरिवेटिव और सीमा में प्लगिंग करके करते हैं।
• याद रखें कि भागों द्वारा समाकलन गुणन नियम से आता है।

9.प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by substitution)-

Some Special Integration by Parts

• “प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन “(जिसे” यू-सबस्टीट्यूशन “या” रिवर्स चेन नियम “भी कहा जाता है) एक समाकल को खोजने के लिए एक विधि है,लेकिन केवल जब इसे एक विशेष तरीके से स्थापित किया जा सकता है।यह समाकल अंग के लिए अच्छा है!
• उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा कुछ विशिष्ट खण्डश: समाकलन (Some Special Integration by Parts) को ओर ठीक से समझा जा सकता है।

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