1.चरों के पृथक्करण में समानीत होनेवाली अवकल समीकरण (Differential Equation Reducible to Variable Separable)-

Differential Equation Reducible to Variable Separable

चरों के पृथक्करण में समानीत होनेवाली अवकल समीकरण (Differential Equation Reducible to Variable Separable) विधि से अवकल समीकरण को हल करने का,इस आर्टिकल में अध्ययन करेंगे।
इस विधि में दी गई अवकल समीकरण के अवलोकन से किसी विशिष्ट व्यंजक को प्रतिस्थापित करने से समीकरण चरों के पृथक्करण वाली समीकरण में परिणित हो जाती है और उसका हल प्राप्त कर पुनः वह प्रतिस्थापन कर समीकरण का हल प्राप्त किया जाता है। निम्न उदाहरणों से यदि अधिक स्पष्ट हो जाएगी।
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2.चरों के पृथक्करण में समानीत होनेवाली अवकल समीकरण के उदाहरण और समस्याएं (Differential Equation Reducible to Variable Separable problems and solutions)-

(1.)चरों के पृथक्करण में समानीत होनेवाली अवकल समीकरण के उदाहरण (Differential Equation Reducible to Variable Separable Examples,Equation reducible to variable separable form examples,Reducible to separable differential equation examples)-
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए-
Example-1.{ (x+y) }^{ 2 }\frac { dy }{ dx } ={ a }^{ 2 }
Solution–{ (x+y) }^{ 2 }\frac { dy }{ dx } ={ a }^{ 2 }\\ put\quad x+y=v\\ 1+\frac { dy }{ dx } =\frac { dv }{ dx } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { dv }{ dx } -1\\ \Rightarrow { v }^{ 2 }(\frac { dv }{ dx } -1)={ a }^{ 2 }\\ \Rightarrow \frac { dv }{ dx } -1=\frac { { a }^{ 2 } }{ { v }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { dv }{ dx } =1+\frac { { a }^{ 2 } }{ { v }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { dv }{ dx } =\frac { { v }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } }{ { v }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { { v }^{ 2 }dv }{ { v }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } =dx
समाकलन करने पर-

\Rightarrow \int { \frac { { v }^{ 2 }dv }{ { v }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } } =\int { dx } \\ \Rightarrow \int { \frac { { v }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } }{ { v }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } dv } =\int { dx } \\ \Rightarrow \int { 1dv } -\int { \frac { { a }^{ 2 } }{ { v }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } dv } =\int { dx } \\ \Rightarrow v-{ a }^{ 2 }.\frac { 1 }{ a } \tan ^{ -1 }{ (\frac { v }{ a } ) } =x+c\\ \Rightarrow x+y-{ a }^{ 2 }.\frac { 1 }{ a } \tan ^{ -1 }{ (\frac { x+y }{ a } ) } =x+c\\ \Rightarrow x+y-a\tan ^{ -1 }{ (\frac { x+y }{ a } ) } =x+c\\ \Rightarrow y-c=a\tan ^{ -1 }{ (\frac { x+y }{ a } ) } \\ \Rightarrow (\frac { y-c }{ a } )=\tan ^{ -1 }{ (\frac { x+y }{ a } ) } \\ \Rightarrow \tan { (\frac { y-c }{ a } ) } =\frac { x+y }{ a } \\ \Rightarrow x+y=a\tan { (\frac { y-c }{ a } ) }
Example-2.\cos { (x+y) } dy=dx
Solution–\cos { (x+y) } dy=dx\\ \Rightarrow \cos { (x+y) } \frac { dy }{ dx } =1\\ put\quad x+y=v\\ \Rightarrow 1+\frac { dy }{ dx } =\frac { dv }{ dx } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { dv }{ dx } -1\\ \cos { v } (\frac { dv }{ dx } -1)=1\\ \Rightarrow \frac { dv }{ dx } -1=\frac { 1 }{ \cos { v } } \\ \Rightarrow \frac { dv }{ dx } =\frac { 1 }{ \cos { v } } +1\\ \Rightarrow \frac { dv }{ dx } =\frac { 1+\cos { v } }{ \cos { v } } \\ \Rightarrow \frac { \cos { v } }{ 1+\cos { v } } dv=dx
समाकलन करने पर-

\Rightarrow \int { \frac { 1+\cos { v } -1 }{ 1+\cos { v } } dv } =\int { dx } \\ \Rightarrow \int { 1dv } -\int { \frac { 1 }{ 1+\cos { v } } dv } =x+c\\ \Rightarrow v-\int { \frac { 1 }{ 2\cos ^{ 2 }{ \frac { v }{ 2 } } } dv } =x+c\\ \Rightarrow v-\frac { 1 }{ 2 } \int { \sec ^{ 2 }{ \frac { v }{ 2 } } dv } =x+c\\ \Rightarrow v-\tan { \frac { v }{ 2 } } =x+c\\ \Rightarrow x+y-\tan { (\frac { x+y }{ 2 } ) } =x+c\\ y=\tan { (\frac { x+y }{ 2 } ) } +c
Example-3.(x+y)(dx-dy)=(dx+dy)
Solution–(x+y)(dx-dy)=(dx+dy)\\ \Rightarrow \frac { dx+dy }{ x+y } =dx-dy\\ put\quad x+y=v\\ dx+dy=dv\\ \Rightarrow \frac { dv }{ v } =dx-dy
समाकलन करने पर-

\Rightarrow \int { \frac { dv }{ v } } =\int { dx-dy } \\ \Rightarrow \log { v } =x-y+\log { c } \\ \Rightarrow \log { \frac { v }{ c } } =x-y\\ \Rightarrow \frac { v }{ c } ={ e }^{ x-y }\\ \Rightarrow v=c{ e }^{ x-y }\\ \Rightarrow x+y=c{ e }^{ x-y }

Differential Equation Reducible to Variable Separable

Example-4.\frac { dy }{ dx } =\frac { x+y+1 }{ x+y }
Solution–\frac { dy }{ dx } =\frac { x+y+1 }{ x+y } \\ put\quad x+y=v\\ 1+\frac { dy }{ dx } =\frac { dv }{ dx } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { dv }{ dx } -1\\ \Rightarrow \frac { dv }{ dx } -1=\frac { v+1 }{ v } \\ \Rightarrow \frac { dv }{ dx } =\frac { v+1 }{ v } +1\\ \Rightarrow \frac { dv }{ dx } =\frac { v+1+v }{ v } \\ \Rightarrow \frac { dv }{ dx } =\frac { 2v+1 }{ v } \\ \Rightarrow \frac { v }{ 2v+1 } dv=dx\\ \Rightarrow [\frac { 1 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2(2v+1) } ]dv=dx
समाकलन करने पर-

\frac { 1 }{ 2 } \int { 1dv } -\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { 1 }{ (2v+1) } dv } =\int { dx } \\ \Rightarrow \frac { v }{ 2 } -\frac { 1 }{ 4 } \log { (2v+1) } =x+c\\ \Rightarrow \frac { x+y }{ 2 } -\frac { 1 }{ 4 } \log { (2x+2y+1) } =x+c\\ \Rightarrow x+y-\frac { 1 }{ 2 } \log { (2x+2y+1) } =2x+{ c }_{ 1 }\\ \Rightarrow y-x-\frac { 1 }{ 2 } \log { (2x+2y+1) } ={ c }_{ 1 }\\ \Rightarrow 2(y-x)=\frac { 1 }{ 2 } \log { (2x+2y+1) } +{ c }_{ 1 }
Example-5.x+y=\sin ^{ -1 }{ (\frac { dy }{ dx } ) }
Solution–x+y=\sin ^{ -1 }{ (\frac { dy }{ dx } ) } \\ \sin { (x+y) } =\frac { dy }{ dx } \\ put\quad x+y=v\\ 1+\frac { dy }{ dx } =\frac { dv }{ dx } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { dv }{ dx } -1\\ \Rightarrow (\frac { dv }{ dx } -1)=\sin { v } \\ \Rightarrow \frac { dv }{ dx } =1+\sin { v } \\ \Rightarrow \frac { dv }{ 1+\sin { v } } =dx\\ \\ \frac { dv }{ \sin ^{ 2 }{ \frac { v }{ 2 } } +\cos ^{ 2 }{ \frac { v }{ 2 } } +2\sin { \frac { v }{ 2 } } \cos { \frac { v }{ 2 } } } =dx\\ \Rightarrow \frac { dv }{ { \left( \sin { \frac { v }{ 2 } } +\cos { \frac { v }{ 2 } } \right) }^{ 2 } } =dx\\ \Rightarrow \frac { dv }{ { \cos ^{ 2 }{ \frac { v }{ 2 } } \left( 1+\tan { \frac { v }{ 2 } } \right) }^{ 2 } } =dx\\ \Rightarrow \frac { \sec ^{ 2 }{ \frac { v }{ 2 } } dv }{ { \left( 1+\tan { \frac { v }{ 2 } } \right) }^{ 2 } } =dx
समाकलन करने पर-

\int { \frac { \sec ^{ 2 }{ \frac { v }{ 2 } } dv }{ { \left( 1+\tan { \frac { v }{ 2 } } \right) }^{ 2 } } } =\int { dx } \\ put\quad 1+\tan { \frac { v }{ 2 } } =u\\ \Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } \sec ^{ 2 }{ \frac { v }{ 2 } } dv=du\\ \Rightarrow \sec ^{ 2 }{ \frac { v }{ 2 } } dv=2du\\ \Rightarrow 2\int { \frac { du }{ { u }^{ 2 } } } =\int { dx } \\ \Rightarrow -\frac { 2 }{ u } =x+c\\ \Rightarrow -\frac { 2 }{ 1+\tan { \frac { v }{ 2 } } } =x+c\\ \Rightarrow -\frac { 2 }{ 1+\tan { \left( \frac { x+y }{ 2 } \right) } } =x+c
Example-6.\frac { dy }{ dx } =\frac { 1 }{ x-y } +1
Solution–\frac { dy }{ dx } =\frac { 1 }{ x-y } +1\\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } -1=\frac { 1 }{ x-y } \\ \Rightarrow (x-y)(dy-dx)=dx\\ \Rightarrow (y-x)(dy-dx)=-dx\\ put\quad y-x=v\\ dy-dx=dv\\ \Rightarrow vdv=-dx
समाकलन करने पर-

\int { vdv } =-\int { dx } \\ \Rightarrow \frac { { v }^{ 2 } }{ 2 } =-x+c\\ \Rightarrow { (y-x) }^{ 2 }=-2x+{ c }_{ 1 }\\ \Rightarrow 2x+{ (y-x) }^{ 2 }={ c }_{ 1 }

Example-6.\frac { dy }{ dx } =\frac { (x-y)+3 }{ 2(x-y)+5 }

Solution-\frac { dy }{ dx } =\frac { (x-y)+3 }{ 2(x-y)+5 } \\ put\quad x-y=v\\ \Rightarrow 1-\frac { dy }{ dx } =\frac { dv }{ dx } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =1-\frac { dv }{ dx } \\ \Rightarrow 1-\frac { dv }{ dx } =\frac { v+3 }{ 2v+5 } \\ \Rightarrow \frac { dv }{ dx } =1-\frac { v+3 }{ 2v+5 } \\ \Rightarrow \frac { dv }{ dx } =\frac { 2v+5-v-3 }{ 2v+5 } \\ \Rightarrow \frac { dv }{ dx } =\frac { v+2 }{ 2v+5 } \\ \Rightarrow \frac { 2v+5 }{ v+2 } dv=dx\\ (2+\frac { 1 }{ v+2 } )dv=dx

समाकलन करने पर-

\int { (2+\frac { 1 }{ v+2 } ) } dv=\int { dx } \\ \Rightarrow \int { 2dv } +\int { \frac { 1 }{ v+2 } dv } =\int { dx } \\ \Rightarrow 2v+\log { (v+2) } =x+c\\ \Rightarrow 2(x-y)+\log { (x-y+2) } =c

इन उदाहरणों के द्वारा चरों के पृथक्करण में समानीत होनेवाली अवकल समीकरण (Differential Equation Reducible to Variable Separable) को समझ सकते हैं।
(2.)चरों के पृथक्करण में समानीत होनेवाली अवकल समीकरण की समस्याएं (Differential Equation Reducible to Variable Separable Problems)-
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए-

(1)\frac { dy }{ dx } =\frac { 1 }{ x+y+1 } \qquad (2){ e }^{ x+y }=1+\frac { dy }{ dx } \\ (3)\frac { dy }{ dx } =\sec { (x+y) } \qquad (4)\frac { dy }{ dx } =\frac { \sin { (x+y) } }{ \cos { (x+y) } } \\ (5)\left[ \frac { x+y-a }{ x+y-b } \right] \frac { dy }{ dx } =\frac { x+y+a }{ x+y+b }

उत्तर :-

(1)y=\tan { \left( \frac { x+y }{ 2 } \right) } +c\\ (2)x+{ e }^{ -(x+y) }=c\\ (3)y=\tan { \left( \frac { x+y }{ 2 } \right) } +c\\ (4)\log { \left[ 1+\tan { \left( \frac { x+y }{ 2 } \right) } \right] } =x+c\\ (5)x-y=\frac { b-a }{ 2 } \log { \left[ { (x+y) }^{ 2 }-ab \right] } +c
उपर्युक्त समस्याओं को हल करने पर चरों के पृथक्करण में समानीत होनेवाली अवकल समीकरण (Differential Equation Reducible to Variable Separable) को ओर ठीक तरह से समझा जा सकता है।

3.पृथक्करण अवकल समीकरण (Separable differential equations)-

Differential Equation Reducible to Variable Separable

एक पृथक्करण अवकल समीकरण कोई भी समीकरण है जिसे y′= f (x) g (y) के रूप में लिखा जा सकता है।चर के पृथक्करण की विधि का उपयोग एक अलग अंतर समीकरण के सामान्य समाधान को खोजने के लिए किया जाता है।

4.समघातीय अवकल समीकरण (Homogeneous differential equation)-

Differential Equation Reducible to Variable Separable

एक अंतर समीकरण दो मामलों में सजातीय हो सकता है।
पहला ऑर्डर डिफरेंशियल इक्वेशन कहा जाता है, अगर इसे लिखा जा सकता है तो सजातीय हो सकता है
f(x,y)dy=g(x,y)dx
जहाँ f और g एक ही घात के x और y के समरूप फलन हैं।इस स्थिति में, चर y = ux का परिवर्तन प्रपत्र के एक समीकरण की ओर जाता है
dx/x=h(u)du
जो दो सदस्यों के समाकलन द्वारा हल करना आसान है।
अन्यथा, एक अवकल समीकरण सजातीय है यदि यह अज्ञात फलन और इसके अवकलज का एक सजातीय फलन है।रैखिक अवकल समीकरणों के मामले में,इसका मतलब है कि कोई अचर नहीं हैं।
इस प्रकार उपर्युक्त विवरण के आधार पर चरों के पृथक्करण में समानीत होनेवाली अवकल समीकरण (Differential Equation Reducible to Variable Separable) को समझ सकते हैं।

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