1.नियतन समस्याओं को हल करने की 3 टिप्स (3 Tips to Solve Assignment Problem),इष्टतमीकरण सिद्धान्त में नियतन समस्याएं (Assignment Problems in Optimization Theory):

3 Tips to Solve Assignment Problem

नियतन समस्याओं को हल करने की 3 टिप्स (3 Tips to Solve Assignment Problem) के इस आर्टिकल में प्रबन्धन के पास उपलब्ध ऑपरेटरों,विक्रेताओं तथा विक्रय प्रतिनिधि द्वारा शहरों में की गई यात्रा पर आधारित नियतन समस्याओं को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.नियतन समस्याओं को हल करने की 3 टिप्स पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on 3 Tips to Solve Assignment Problem):

Illustration:23.एक प्रबन्धन के पास O_1, O_2, O_3 एवं O_4 चार ऑपरेटर उपलब्ध हैं जिनमे  J_1, J_2, J_3 एवं J_4 चार कार्य करवाने हैं। चार ऑपरेटरों द्वारा चार कार्यों को किये जाने में लगने वाले समय निम्न मैट्रिक्स में दर्शाए गए हैं:
(i)प्रबन्धक किस ऑपरेटर को किस कार्य पर लगाये ताकि कार्यों पर लगने वाला कुल समय न्यूनतम हो।
(ii)यदि कार्य J_2 ऑपरेटर O_2 से नहीं करवाना चाहता तो नियतन किस प्रकार होगा और इस स्थिति में कितना समय अधिक लगेगा।
(Four operators  O_1, O_2, O_3 and O_4 are available to a manager who has to get jobs J_1, J_2, J_3 and J_4  done by assigning one job to each operator.Given the time needed by different jobs in the matrix below:
(i)How should the manager assign the jobs so that total times needed for all four jobs is minimum?
(ii)If job J_2 is not to be assigned to operator O_2 what should be the assignment and how much additional time will required.)
\begin{array}{|l|cccc|} \hline \text{ऑपरेटर } \downarrow & \text{कार्य } & \text{(Jobs)} & \to &\\ \hline  \text{(Operators)} & J_1 & J_2 & J_3 & J_4 \\ \hline O_1 & 12 & 10 & 10 & 8 \\ O_2 & 14 & 12 & 15 & 11 \\ O_3 & 6 & 10 & 16 & 4 \\ O_4 & 8 & 10 & 9 & 7 \\ \hline \end{array}
Solution:(i).पद (step):I.पंक्ति समानेत मैट्रिक्स (Row reduced Matrix):प्रत्येक पंक्ति के न्यूनतम अवयव को उसी पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर उपर्युक्त मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 1

पद (step):II.स्तम्भ समानेत मैट्रिक्स (Column reduced Matrix):सारणी 1 के प्रत्येक स्तम्भ के न्यूनतम अवयव को उसी स्तम्भ के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर स्तम्भ समानयन निम्न मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 2

पद (step):III.शून्य नियतन (निर्दिष्टीकरण) प्रथम पंक्ति से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन पंक्तियों को चुनते हैं जिनमें एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ पहली,दूसरी और तीसरी पंक्ति ऐसी है।इन पंक्तियों के शून्य को वर्ग (\square)  से अंकित करते हैं तथा इस शून्य से होकर जाने वाले स्तम्भ की अन्य सभी शून्यों को काट (×) देते हैं।पुनः प्रथम स्तम्भ से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन स्तम्भों को चुनते हैं जिनमें अचिन्हित एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ ऐसा पहला स्तम्भ हैं।इस स्तम्भ की शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं और इस शून्य से होकर जानेवाली पंक्तियों की अन्य शून्य को काट (×) देते हैं।इस प्रकार सारणी 3 में यह नियतन निम्नानुसार है:
सारणी 3

\begin{array}{l|cccc|} & J_{1} & J_{2} & J_{3} & J_{4} \\ \hline O_1 & 3 & 1 & \fbox{0} & \xcancel{0} \\ O_2 & 2 & \fbox{0} & 2 & \xcancel{0} \\ O_3 & 1 & 5 & 10 & \fbox{0} \\ O_4 & \fbox{0} & 2 & \xcancel{0} & \xcancel{0} \\ \hline \end{array}
इस प्रकार सारणी 3 ऐसी प्राप्त होती है जिसमें प्रत्येक पंक्ति तथा प्रत्येक स्तम्भ में एक नियतन है।अर्थात् पूर्ण शून्य निर्दिष्टीकरण निम्न अनुसार प्राप्त होता है।
O_1 \rightarrow J_3, O_2 \rightarrow J_2, O_3 \rightarrow J_4, O_4 \rightarrow J_1
न्यूनतम समय=10+12+4+8=34 घण्टे
(ii).यदि कार्य ऑपरेटर से नहीं है तो पुनः सारणी 3 से:
सारणी 3

\begin{array}{l|cccc|} & J_{1} & J_{2} & J_{3} & J_{4} \\ \hline O_1 & 3 & 1 & \fbox{0} & \xcancel{0} \\ O_2 & 2 & 12 & 2 & \fbox{0} \\ O_3 & 1 & 5 & 10 & \xcancel{0} \\ O_4 & \fbox{0} & 2 & \xcancel{0} & \xcancel{0} \\ \hline \end{array}
पद (step):IV.अब समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए न्यूनतम संख्या में रेखाएँ खींचते हैं जिसकी विधि निम्न प्रकार है:
सारणी 4

\begin{array}{c|cccc|c} & & & (5) & (2) & \\ & J_{1} & J_{2} & J_{3} & J_{4}  & \\ \hline O_1 & 3 & 1 & \fbox{0} & \xcancel{0} & \\ & & & \vdots & \vdots & \\ O_2 & 2 & 12 & 2 & \fbox{0} &(3) \\ & & & \vdots & \vdots & \\ O_3 & 1 & 5 & 10 & \xcancel{0} & (1)\\ & & & \vdots & \vdots & \\ O_4 & \fbox{0} \cdots & 2 \cdots & \xcancel{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots &(4) \\ \hline \end{array}
(i)सारणी 3 को पुनः बनाइये।
(ii)पंक्ति 3 को चिन्हित कीजिए क्योंकि इनमें नियतन नहीं है।
(iii)पंक्ति 3 के चतुर्थ स्तम्भ में शून्य है इसलिए स्तम्भ 4 को चिन्हित कीजिए।
(iv)चिन्हित स्तम्भ 4 की पंक्ति 2,4 में वर्ग (\square) अंकित है,को चिन्हित कीजिए।
पद (step):V.अब हम चिन्हित स्तम्भ से रेखा खींचते हैं।फिर चिन्हित पंक्ति 4 जिनमें शून्य हैं परन्तु उनसे कोई रेखा नहीं गुजरती पर रेखा खींचते हैं।अब क्योंकि कोई ऐसी शून्य शेष नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 4×4 है परन्तु रेखाओं की संख्या 3 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त नहीं हो सकता।
पद (step):VI.अब उन सभी अवयवों जो रेखाओं से ढके नहीं है,का न्यूनतम अवयव 1 है।इस अवयव (अर्थात् 1) को उन सभी बिना ढके अवयवों में से घटाने तथा रेखाओं के प्रतिच्छेदन वाले अवयव में जोड़ने पर सारणी 5 प्राप्त होती है।अब स्टेप III के अनुसार शून्य निर्दिष्टीकरण कीजिए।
सारणी 5

\begin{array}{l|cccc|} & J_{1} & J_{2} & J_{3} & J_{4} \\ \hline O_1 & 2 & \fbox{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} \\ O_2 & 1 & 12 & 2 & \fbox{0} \\ O_3 & \fbox{0} & 4 & 10 & \xcancel{0} \\ O_4 &\xcancel{0} & 2 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}
पद (step):VII.अब पुनः समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए स्टेप IV,V के अनुसार हंगेरियन विधिनुसार रेखाएँ खींचते हैं।
सारणी 6

\begin{array}{c|cccc|c} & (2) & & & (4)&\\ & J_{1} & J_{2} & J_{3} & J_{4} & \\ \hline O_1 \cdots & 2 \cdots & \fbox{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots & \xcancel{0} & (4) \\ & \vdots & & & \vdots & \\ O_2 & 1 & 12 & 2 & \fbox{0} &(1) \\ & \vdots & & & \vdots & \\ O_3 & \fbox{0} & 4 & 10 & \xcancel{0} & (2)\\ & \vdots & & & \vdots & \\ O_4 &\xcancel{0} & 2 & 1 & 1 \cdots\\ \hline \end{array}
अब कोई भी ऐसा शून्य नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 4×4 है परन्तु रेखाओं की संख्या 3 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त नहीं हो सकता
पद (Step):VIII.अब उन सभी अवयवों जो रेखाओं से ढके नहीं है,का न्यूनतम अवयव 1 है।इस अवयव (अर्थात् 1) को उन सभी बिना ढके अवयवों में से घटाने तथा रेखाओं के प्रतिच्छेदन वाले अवयव में जोड़ने पर सारणी 7 प्राप्त होती है।अब स्टेप III के अनुसार शून्य निर्दिष्टीकरण कीजिए।
सारणी 7

\begin{array}{l|cccc|} & J_{1} & J_{2} & J_{3} & J_{4} \\ \hline O_1 & 3 & \fbox{0} & \xcancel{0} & 1 \\ O_2 & 1 & 12 & 1 & \fbox{0} \\ O_3 & \fbox{0} & 3 & 9 & \xcancel{0} \\ O_4 &\xcancel{0} & 1 & \fbox{0} & 1 \\ \hline \end{array}
इस प्रकार सारणी 7 ऐसी प्राप्त होती है जिसमें प्रत्येक पंक्ति तथा प्रत्येक स्तम्भ में एक नियतन है।अर्थात् पूर्ण शून्य निर्दिष्टीकरण निम्न अनुसार प्राप्त होता है:
O_1 \rightarrow J_2, O_2 \rightarrow J_4, O_3 \rightarrow J_1, O_4 \rightarrow J_3
न्यूनतम समय=10+11+6+9=36 घण्टे
अतिरिक्त समय=36-34=2 घण्टे
Illustration:24.चार विक्रेताओं को 4 जिले निर्दिष्ट करने हैं।प्रत्येक विक्रेता द्वारा की गई बिक्री (सैकड़ों में) का अनुमान निम्नानुसार है।अधिकतम बिक्री आय का निर्दिष्टीकरण स्वरूप दीजिए।
(Four salesmen are to be assigned to four districts.Estimates of the sales revenue in hundred of Rs. for each salesman are as under given the assigned pattern.)
\begin{array}{|c|cccc|} \hline \text{विक्रेता} \downarrow & \text{जिला} & \text{(District)} & \rightarrow \\ \text { (Salesman) } & A & B & C & D \\ \hline 1 & 320 & 350 & 400 & 280 \\ 2 & 400 & 250 & 300 & 220 \\ 3 & 420 & 270 & 340 & 300 \\ 4 & 250 & 390 & 410 & 350 \\ \hline \end{array}
Solution:समस्या को अधिकतम को,न्यूनतम में परिवर्तन करने के लिए मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव को -1 से गुणा करने पर:
सारणी 1

पद (step):I.पंक्ति समानेत मैट्रिक्स (Row reduced Matrix):प्रत्येक पंक्ति के न्यूनतम अवयव को उसी पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर उपर्युक्त मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 2

पद (step):II.स्तम्भ समानेत मैट्रिक्स (Column reduced Matrix):सारणी 2 के प्रत्येक स्तम्भ के न्यूनतम अवयव को उसी स्तम्भ के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर स्तम्भ समानयन निम्न मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 3

पद (step):III.शून्य नियतन (निर्दिष्टीकरण) प्रथम पंक्ति से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन पंक्तियों को चुनते हैं जिनमें एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ पहली और दूसरी पंक्ति ऐसी है।इन पंक्तियों के शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं तथा इस शून्य से होकर जाने वाले स्तम्भ की अन्य सभी शून्यों को काट (×) देते हैं।पुनः प्रथम स्तम्भ से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन स्तम्भों को चुनते हैं जिनमें अचिन्हित एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ ऐसा दूसरा स्तम्भ हैं।इस स्तम्भ की शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं और इस शून्य से होकर जानेवाली पंक्तियों की अन्य शून्य को काट (×) देते हैं।इस प्रकार सारणी 4 में यह नियतन निम्नानुसार है:
सारणी 4

\begin{array}{c|cccc|} & A & B & C & D  \\ \hline 1 & 80 & 30 & \fbox{0} & 60 \\ 2 & \fbox{0} & 130 & 100 & 120 \\ 3 & \xcancel{0} & 130 & 80 & 60 \\ 4 & 160 & \fbox{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} \\ \hline \end{array}
पद (step):IV.अब समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए न्यूनतम संख्या में रेखाएँ खींचते हैं जिसकी विधि निम्न प्रकार है:
सारणी 5

\begin{array}{c|cccc|c} & (2) & & & &\\ & A & B & C & D  & \\ \hline 1 & 80 \cdots & 30 \cdots & \fbox{0} \cdots & 60 \cdots & \\ & \vdots & & & & \\2 & \fbox{0} & 130 & 100 & 120 &(3) \\ & \vdots & & & & \\ 3 & \xcancel{0} & 130 & 80 & 60 & (1)\\ & \vdots & & & & \\ 4 & 160 \cdots & \fbox{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots & \\ \hline \end{array}
(i)सारणी 4 को पुनः बनाइये।
(ii)पंक्ति 3 को चिन्हित कीजिए क्योंकि इनमें नियतन नहीं है।
(iii)पंक्ति 3 के प्रथम स्तम्भ में शून्य है इसलिए स्तम्भ 1 को चिन्हित कीजिए।
(iv)चिन्हित स्तम्भ 1 की पंक्ति 2 में वर्ग (\square) अंकित है,को चिन्हित कीजिए।
पद (step):V.अब हम चिन्हित स्तम्भ से रेखा खींचते हैं।फिर अचिन्हित पंक्ति 1,4 जिनमें शून्य हैं परन्तु उनसे कोई रेखा नहीं गुजरती पर रेखा खींचते हैं।अब क्योंकि कोई ऐसी शून्य शेष नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 4×4 है परन्तु रेखाओं की संख्या 3 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त नहीं हो सकता।
पद (step):VI.अब उन सभी अवयवों जो रेखाओं से ढके नहीं है,का न्यूनतम अवयव 60 है।इस अवयव (अर्थात् 60) को उन सभी बिना ढके अवयवों में से घटाने तथा रेखाओं के प्रतिच्छेदन वाले अवयव में जोड़ने पर सारणी 6 प्राप्त होती है।अब स्टेप III के अनुसार शून्य निर्दिष्टीकरण कीजिए।
सारणी 6

\begin{array}{c|cccc|} & A & B & C & D  \\ \hline 1 & 140 & 30 & \fbox{0} & 60 \\ 2 & \fbox{0} & 70 & 40 & 60 \\ 3 & \xcancel{0} & 70 & 20 & \boxed{0} \\ 4 & 220 & \fbox{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0}\\ \hline \end{array}
इस प्रकार सारणी 6 ऐसी प्राप्त होती है जिसमें प्रत्येक पंक्ति तथा प्रत्येक स्तम्भ में एक नियतन है।अर्थात् पूर्ण शून्य निर्दिष्टीकरण निम्न अनुसार प्राप्त होता है:
1 \rightarrow C, 2 \rightarrow A, 3 \rightarrow D , 4 \rightarrow B

3 Tips to Solve Assignment Problem

Illustration:25.एक विक्रय प्रतिनिधि को पाँच शहरों में यात्रा करनी है।शहरों के बीच का यात्रा समय (घण्टों में) निम्न सारणी में दर्शाया गया है।विक्रय प्रतिनिधि की समस्या का हल कीजिए कि वह किस प्रकार यात्रा करे कि उसे न्यूनतम समय लगेगा।
(A salesman has to visit five cities A,B,C,D and E.The travelling time (in hours) between these cities is shown in the following table.Solve the salesman problem so that he can visit in minimum time.)
\begin{array}{|c|ccccc|} \hline \downarrow & \text{से (from)} & \text{को} & \text{(To)} & & \\ \hline & A & B & C & D & E \\ \hline A & \infty & 14 & 17 & 13 & 14 \\ B & 14 & \infty & 16 & 13 & 14 \\ C & 17 & 16 & \infty & 17 & 15 \\ D & 13 & 13 & 17 & \infty & 17 \\ E & 14 & 14 & 15 & 17 & \infty \\ \hline \end{array}
Solution:पद (step):I.पंक्ति समानेत मैट्रिक्स (Row reduced Matrix):प्रत्येक पंक्ति के न्यूनतम अवयव को उसी पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर उपर्युक्त मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 1

पद (step):II.स्तम्भ समानेत मैट्रिक्स (Column reduced Matrix):सारणी 1 के प्रत्येक स्तम्भ के न्यूनतम अवयव को उसी स्तम्भ के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर स्तम्भ समानयन निम्न मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 2

पद (step):III.शून्य नियतन (निर्दिष्टीकरण) प्रथम पंक्ति से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन पंक्तियों को चुनते हैं जिनमें एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ पहली और तीसरी पंक्ति ऐसी है।इन पंक्तियों के शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं तथा इस शून्य से होकर जाने वाले स्तम्भ की अन्य सभी शून्यों को काट (×) देते हैं।पुनः प्रथम स्तम्भ से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन स्तम्भों को चुनते हैं जिनमें अचिन्हित एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ ऐसा पहला और तीसरा स्तम्भ हैं।इन स्तम्भ की शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं और इस शून्य से होकर जानेवाली पंक्तियों की अन्य शून्य को काट (×) देते हैं।इस प्रकार सारणी 3 में यह नियतन निम्नानुसार है:
सारणी 3

\begin{array}{l|lllll|} & A & B & C &  D & E  \\ \hline A & \infty & 1 & 3 & \fbox{0} & 1 \\ B & 1 & \infty & 2 & \xcancel{0} & 1 \\ C & 2 & 1 & \infty & 2 & \fbox{0} \\ D & \fbox{0} & \xcancel{0} & 3 & \infty & 4 \\ E & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \fbox{0} & 3 & \infty \\ \hline \end{array}
पद (step):IV.अब समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए न्यूनतम संख्या में रेखाएँ खींचते हैं जिसकी विधि निम्न प्रकार है:
सारणी 4

\begin{array}{c|ccccc|c} & & & & (2) &\\ & A & B & C &  D & E & \\ \hline A & \infty & 1 & 3 & \fbox{0} & 1 & (3) \\ & & & & \vdots & & \\ B & 1 & \infty & 2 & \xcancel{0} & 1 & (1) \\ & & & & \vdots & & \\ C & 2 \cdots & 1 \cdots & \infty \cdots & 2 \cdots & \fbox{0} \cdots & \\ & & & & \vdots & & \\ D & \fbox{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots & 3 \cdots & \infty \cdots & 4 \cdots & \\ & & & & \vdots & & \\ E & \xcancel{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots & \fbox{0} \cdots & 3 \cdots & \infty \cdots \\ \hline \end{array}
(i)सारणी 3 को पुनः बनाइये।
(ii)पंक्ति 2 को चिन्हित कीजिए क्योंकि इनमें नियतन नहीं है।
(iii)पंक्ति 2 के चतुर्थ स्तम्भ में शून्य है इसलिए स्तम्भ 4 को चिन्हित कीजिए।
(iv)चिन्हित स्तम्भ 4 की पंक्ति 1 में वर्ग (\square) अंकित है,को चिन्हित कीजिए।
पद (step):V.अब हम चिन्हित स्तम्भ से रेखा खींचते हैं।फिर अचिन्हित पंक्ति 2,3,4 जिनमें शून्य हैं परन्तु उनसे कोई रेखा नहीं गुजरती पर रेखाएँ खींचते हैं।अब क्योंकि कोई ऐसी शून्य शेष नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 5×5 है परन्तु रेखाओं की संख्या 4 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त नहीं हो सकता।
पद (step):VI.अब उन सभी अवयवों जो रेखाओं से ढके नहीं है,का न्यूनतम अवयव 1 है।इस अवयव (अर्थात् 1) को उन सभी बिना ढके अवयवों में से घटाने तथा रेखाओं के प्रतिच्छेदन वाले अवयव में जोड़ने पर सारणी 5 प्राप्त होती है।अब स्टेप III के अनुसार शून्य निर्दिष्टीकरण कीजिए।
सारणी 5

\begin{array}{l|lllll|} & A & B & C &  D & E  \\ \hline A & \infty & 0 & 2 & 0 & \xcancel{0} \\ B & 0 & \infty & 1 & 0 & \xcancel{0} \\ C & 2 & 1 & \infty & 3 & \fbox{0} \\ D & 0 & 0 & 3 & \infty & 4 \\ E & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \fbox{0} & 4 & \infty \\ \hline \end{array}
पद (step):VII.समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए हंगरेयिन विधिनुसार रेखाएँ हैं।

\begin{array}{c|ccccc|c} & (4) & (5) & & (6) & (7) & \\ & A & B & C &  D & E & \\ \hline A & \infty & 0 & 2 & 0 & \xcancel{0} & (1) \\ & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \\ B & 0 & \infty & 1 & 0 & \xcancel{0} & (2) \\ & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \\ C & 2 & 1 & \infty & 3 & \fbox{0} & (8) \\ & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \\ D & 0 & 0 & 3 & \infty & 4 & (3) \\ & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \\ E & \xcancel{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots & \fbox{0} \cdots & 4 \cdots & \infty \cdots & \\ \hline \end{array}
अब कोई भी ऐसा शून्य नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 5×5 है तथा रेखाओं की संख्या भी 5 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त होगा।सारणी 6 का शून्य निर्दिष्टीकरण trial and error विधि से निम्न दो प्रकार से कर सकते हैं।

सारणी

\begin{array}{l|lllll|} & A & B & C &  D & E  \\ \hline A & \infty & \fbox{0} & 2 & \xcancel{0} & \xcancel{0} \\ B & \xcancel{0} & \infty & 1 & \fbox{0} & \xcancel{0} \\ C & 2 & 1 & \infty & 3 & \fbox{0} \\ D & \fbox{0} & \xcancel{0}& 3 & \infty & 4 \\ E & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \fbox{0} & 4 & \infty \\ \hline \end{array}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा नियतन समस्याओं को हल करने की 3 टिप्स (3 Tips to Solve Assignment Problem) ,इष्टतमीकरण सिद्धान्त में नियतन समस्याएं (Assignment Problems in Optimization Theory) को समझ सकते हैं।

3.नियतन समस्याओं को हल करने की 3 टिप्स पर आधारित सवाल (Questions Based on 3 Tips to Solve Assignment Problem):

3 Tips to Solve Assignment Problem

(1.)एक कंपनी के पास 4 मशीनें हैं जिन पर 3 कार्य करने हैं। प्रत्येक कार्य को एक और केवल एक मशीन को सौंपा जा सकता है। प्रत्येक मशीन की लागत निम्नलिखित तालिका में दी गई है:
नौकरी असाइनमेंट क्या हैं जो लागत को कम करेंगे
एक विभागाध्यक्ष के पास चार अधीनस्थ होते हैं और चार कार्य करने होते हैं। अधीनस्थ दक्षता और कार्यों में उनकी आंतरिक कठिनाई में भिन्न होते हैं। प्रत्येक कार्य को करने के लिए प्रत्येक व्यक्ति को लगने वाले समय का उनका अनुमान नीचे दिए गए प्रभाविता मैट्रिक्स में दिया गया है। कार्यों को कैसे आवंटित किया जाना चाहिए, एक आदमी को एक, ताकि अब कुल आदमी को कम से कम किया जा सके?
(A department head has four subordinates and four tasks to be performed.The subordinates differ in efficiency and the tasks in their intrinsic difficulty.His estimate of the times each man would take to perform each task is given in the effectiveness matrix below.How should the tasks be allocated,one to a man,so as to minimize the total man now?)

(2.)एक कंपनी के पास 4 मशीनें हैं जिन पर 3 कार्य करने हैं। प्रत्येक कार्य को एक और केवल एक मशीन को सौंपा जा सकता है। प्रत्येक मशीन की लागत निम्नलिखित तालिका में दी गई है:
नौकरी असाइनमेंट क्या हैं जो लागत को कम करेंगे।
(A company has 4 machines on which to do 3 jobs.Each job can be assigned to one and only one machine.The cost of each machine is given in the following table:

What are the job assignment which will minimize the cost?)
उत्तर (Answers):(1.) A \rightarrow I , B \rightarrow III , C \rightarrow II, D \rightarrow IV
Cost=8+4+19+10=41
(2.)(i) I \rightarrow A, II \rightarrow B,III \rightarrow C
(ii) I \rightarrow A, II \rightarrow C,III \rightarrow B
18+13+19=50,18+17+15=50
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर नियतन समस्याओं को हल करने की 3 टिप्स (3 Tips to Solve Assignment Problem),इष्टतमीकरण सिद्धान्त में नियतन समस्याएं (Assignment Problems in Optimization Theory) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- 2 Tips to Solve Assignment Problems

4.नियतन समस्याओं को हल करने की 3 टिप्स (Frequently Asked Questions Related to 3 Tips to Solve Assignment Problem),इष्टतमीकरण सिद्धान्त में नियतन समस्याएं (Assignment Problems in Optimization Theory) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

नियतन समस्याओं को हल करने की 3 टिप्स (3 Tips to Solve Assignment Problem) के
इस आर्टिकल में प्रबन्धन के पास उपलब्ध ऑपरेटरों,विक्रेताओं तथा विक्रय प्रतिनिधि द्वारा
शहरों में की गई यात्रा पर आधारित नियतन समस्याओं को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।