1.वोगल सन्निकटन विधि की 2 टिप्स (2 Tips of Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन विधि द्वारा परिवहन समस्या का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method):

2 Tips of Vogel Approximation Method

वोगल सन्निकटन विधि की 2 टिप्स (2 Tips of Vogel Approximation Method) के आधार पर परिवहन समस्याओं के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.वोगल सन्निकटन विधि की 2 टिप्स पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on 2 Tips of Vogel Approximation Method):

निम्न परिवहन समस्याएँ हल कीजिए:
(Solve the following transportation problems):
Illustration:2(b).
\begin{array}{|c|cccc|c|} \hline \text{(From)} & & \text{(To)} &   & & \text{(Capacity)} \\ \text{से} & & \text{को} &  & & \text{क्षमता} \\ \hline & D_1 & D_2 & D_3 & D_4 & \\ \hline O_1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 \\ O_2 & 4 & 3 & 2 & 0 & 8 \\ O_3 & 0 & 2 & 2 & 1 & 10 \\ \hline \text{Demand} & 4 & 6 & 8 & 6 & 24 \\ \hline \end{array}
Solution:वोगल सन्निकटन विधि या इकाई लागत विधि:
पद (Step):I.प्रत्येक पंक्ति में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों का अन्तर उसके सामने लिखते हैं तथा प्रत्येक स्तम्भ में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों के अन्तर को उस स्तम्भ के नीचे लिखते हैं तथा इन अन्तरों को छोटे कोष्ठक में लिखते हैं।इस प्रकार आवंटन करते समय इस अन्तर को शास्ति (penality) कहते हैं।

पद (Step):II.अधिकतम शास्ति वाली द्वितीय पंक्ति है जिसकी शास्ति 2 है।अतः द्वितीय पंक्ति के न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (2,4) को चुनते हैं इसमें min(8,6)=6 इकाइयाँ आवंटन कर देते हैं।इस प्रकार चतुर्थ स्तम्भ की सीमा पूरी हो जाती है इसलिए इस स्तम्भ को हटा देते हैं।

चतुर्थ स्तम्भ को हटाने पर:

पद (Step):III.अब चतुर्थ स्तम्भ को निरस्त करने के बाद पुनः शास्ति की जाँच कर अधिकतम शास्ति वाली पंक्ति-3 को चुनते हैं।तृतीय पंक्ति के न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (3,1) में अधिकतम आवंटन min(10,4)=4 इकाइयाँ करते हैं और सीमा पूरी होने पर प्रथम स्तम्भ को हटा देते हैं।

प्रथम स्तम्भ को हटाने परः

अब अधिकतम शास्ति वाली प्रथम,द्वितीय पंक्ति व द्वितीय,तृतीय स्तम्भ है।इनमें से प्रथम पंक्ति को चुनते हैं।प्रथम पंक्ति के न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (1,2) में अधिकतम आवंटन min(6,6)=6 करते हैं और सीमा पूरी होने पर कोष्ठक (2,3) पर आवंटन min(2,8)=2 करते हैं।अब कोष्ठक (3,3) पर min(6,6)=6 इकाइयाँ आवंटन करते हैं।उपर्युक्त सारणी से आधारी सुसंगत को निम्न सारणी में लिखते हैं।

यहाँ m+n-1=3+4-1=6 परन्तु आवंटन 6(2),2(2),6(0),4(0),6(2) कुल पाँच पर हुआ है अतः इसके इष्टतम की जाँच नहीं की जा सकती है।
Illustration:2(c).

Solution:वोगल सन्निकटन विधि या इकाई लागत विधि:
पद (Step):I.प्रत्येक पंक्ति में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों का अन्तर उसके सामने लिखते हैं तथा प्रत्येक स्तम्भ में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों के अन्तर को उस स्तम्भ के नीचे लिखते हैं तथा इन अन्तरों को छोटे कोष्ठक में लिखते हैं।इस प्रकार आवंटन करते समय इस अन्तर को शास्ति (penality) कहते हैं।

पद (Step):II.अधिकतम शास्ति वाला तृतीय स्तम्भ है जिसकी शास्ति 4 है।अतः तृतीय स्तम्भ में न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (3,3) को चुनते हैं इसमें अधिकतम आवंटन min(800,700)=700 इकाइयाँ करते हैं।पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब अधिकतम शास्ति वाले प्रथम स्तम्भ जिसकी शास्ति 3 है।प्रथम स्तम्भ में न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (1,1) को चुनते हैं इसमें min(700,300)=300 आवंटन करते हैं।पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब द्वितीय पंक्ति की अधिकतम शास्ति 7 है।द्वितीय पंक्ति में न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (2,2) को चुनते हैं इसमें min(500,600)=500 आवंटन करते हैं।पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब प्रथम पंक्ति की अधिकतम शास्ति 3 है।प्रथम पंक्ति में न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (1,2) को चुनते हैं इसमें min(400,100)=100 आवंटन करते हैं।अब चतुर्थ स्तम्भ शेष बचता है।इसमें न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (1,4) को चुनते हैं इसमें min(300,400)=300 का आवंटन करते हैं शेष कोष्ठक (4,4) पर आवंटन min(100,100)=100 करते हैं।
वोगल सन्निकटन विधि के लिए अब हम एक ही निम्न मैट्रिक्स सारणी में आवंटन कर हल ज्ञात करते हैं।

उपर्युक्त सारणी से आधारी सुसंगत हल को निम्न सारणी में लिखते हैंः

अतः सारणी से कुल परिवहन लागत
=300×5+100×7+300×10+500×6+700×9+100×11
=1500+700+3000+3000+6300+1100
=15600
इस हल की इष्टतम हल का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स बनाते हैं एवं मैट्रिक्स d_{ij} ज्ञात करते हैं।
u_{i} तथा v_{j} के मानों के समुच्चय को ज्ञात करने के लिए सर्वाधिक नियतन वाली पंक्ति स्तम्भ को चुनते हैं।यहाँ प्रथम पंक्ति ऐसी है।अतः u_{1} को स्वेच्छित मान शून्य लेते हैं।भरी हुई कोष्ठिकाओं में सूत्र C_{ij}=u_{i}+v_{j} का उपयोग करके u_{i} तथा v_{j} का मान ज्ञात करते हैं।
u_{i} तथा v_{j} के लिए सारणी

रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स

रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स

रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स d_{ij}

चूँकि मैट्रिक्स \left[d_{i j}\right] का प्रत्येक अवयव ऋणेतर है अतः उपर्युक्त हल इष्टतम है।
अतः कुल लागत=15600

2 Tips of Vogel Approximation Method

Illustration:3.
Solution:वोगल सन्निकटन विधि या इकाई लागत विधि:
पद (Step):I.प्रत्येक पंक्ति में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों का अन्तर उसके सामने लिखते हैं तथा प्रत्येक स्तम्भ में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों के अन्तर को उस स्तम्भ के नीचे लिखते हैं तथा इन अन्तरों को छोटे कोष्ठक में लिखते हैं।इस प्रकार आवंटन करते समय इस अन्तर को शास्ति (penality) कहते हैं।

पद (Step):II.अधिकतम शास्ति वाली प्रथम पंक्ति,द्वितीय स्तम्भ व चतुर्थ स्तम्भ है जिसकी शास्ति 2 है।अतः इनमें से प्रथम पंक्ति को चुनते हैं।प्रथम पंक्ति में न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (1,2) है इसमें min(60,45) का आवंटन करते हैं शेष इकाइयाँ 60-45=15 कोष्ठक (1,3) पर min(15,20)=15 आवंटन कर देते हैं।इस प्रकार प्रथम पंक्ति की सीमा पूरी हो जाती है इसलिए इसको निरस्त कर देते हैं।
अब पुनः शास्ति की जाँच कर अधिकतम शास्ति वाले चतुर्थ स्तम्भ को चुनते हैं।चतुर्थ स्तम्भ के न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (2,4) में आवंटन min(35,18)=18 करते हैं।सीमा पूरी होने पर अधिकतम शास्ति 1 वाली द्वितीय व तृतीय पंक्ति,प्रथम व पंचम स्तम्भ में से द्वितीय पंक्ति को चुनते हैं।द्वितीय पंक्ति में न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (2,1) पर आवंटन min(17,22)=17 कर देते हैं जिसकी सीमा पूरी होने पर अन्तिम तृतीय पंक्ति में आवंटन करते हैं।तृतीय पंक्ति में न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (3,3),(3,1),(3,5) पर क्रमशः min(40,5)=5, min(35,5)=5, min(30,30)=30 का आवंटन करते हैं।इस माँग व पूर्ति का आवंटन पूरा हो गया है।वोगल सन्निकटन विधि के लिए अब हम एक ही निम्न सारणी में आवंटन कर हल ज्ञात करते हैं।

उपर्युक्त सारणी से आधारी सुसंगत हल को निम्न सारणी में लिखते हैं:

अतः सारणी से कुल परिवहन लागत
=45×1+15×3+17×2+18×2+5×3+5×2+30×4
=45+45+34+36+15+10+120
=305
इस हल की इष्टतम हल का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स बनाते हैं एवं मैट्रिक्स \left[d_{i j}\right] ज्ञात करते हैं।
u_{i} तथा v_{j} के मानों के समुच्चय को ज्ञात करने के लिए सर्वाधिक नियतन वाली पंक्ति स्तम्भ को चुनते हैं।यहाँ तीसरी पंक्ति ऐसी है।अतः u_{3} को स्वेच्छित मान शून्य लेते हैं।भरी हुई कोष्ठिकाओं में सूत्र C_{ij}=u_{i}+v_{j} का उपयोग करके u_{i} तथा v_{j} का मान ज्ञात करते हैं।
u_{i} तथा v_{j} के लिए सारणी

रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स

रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स

रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स \left[d_{i j}\right]

मैट्रिक्स d_{i j} में d_{15}=-1 के अतिरिक्त सभी रिक्त कोष्ठिकाओं से सम्बन्धित मूल्यांकन ऋणेतर है।अतः कोष्ठक (1,5) को आवंटन कर इस हल को सुधारते हैं।
चूँकि d_{15}=-1 न्यूनतम है इसलिए इस कोष्ठक की अधिकतम आवंटन किसी भरे हुए कोष्ठक से करते हैं।शेष आवंटन में परिवर्तन करते हैं जैसा कि नीचे सारणी में दर्शाया गया है।यहाँ अधिकतम आवंटन माना \theta है। \theta बन्दलूप के कोने पर -\theta वाले नियतन में से न्यूनतम को शून्य के बराबर रखकर \theta का मान ज्ञात करते हैं।

\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline & 45(1) & 15(3)_{-\theta} & \longrightarrow & +\theta \\ \hline 17(2) & & \uparrow & 18(2) & \downarrow \\ \hline 5(3) & & 5(2)^{+\theta} & \longleftarrow & 30(4)^{-\theta} \\ \hline \end{array} \\ \min(30-\theta,15-\theta)=0 \Rightarrow 15-\theta=0 \Rightarrow \theta=15
इस प्रकार कोष्ठिका (1,3) में आवंटन शून्य हो जाता है अर्थात् यह खाली कोष्ठिका हो जाती है।नया आधारी हल निम्न सारणी में दर्शाया गया है।

इस हल के इष्टतम हल का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स प्राप्त होती है।
अधिकतम नियतन वाली पंक्ति 3 अर्थात् u_{3} का स्वेच्छित मान शून्य लेते हैं।
u_{i} तथा v_{j} के लिए सारणी

रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स

रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स

रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स \left[d_{i j}\right]

चूँकि मैट्रिक्स \left[d_{i j}\right] का प्रत्येक अवयव ऋणेतर है अतः उपर्युक्त हल इष्टतम हल है।साथ ही d_{25}=0 इंगित करता है कि इसका वैकल्पिक हल भी विद्यमान है।
इस आधारी सुसंगत हल (B. F. S.) के लिए कुल परिवहन लागत
x_{12}=45, x_{15}=15, x_{21}=17, x_{24}=18, x_{31}=5, x_{33}=20, x_{35}=15
=45×1+15×4+17×2+18×2+5×3+20×2+15×4
=45+60+34+36+15+40+60
=290
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वोगल सन्निकटन विधि की 2 टिप्स (2 Tips of Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन विधि द्वारा परिवहन समस्या का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method) को समझ सकते हैं।

2 Tips of Vogel Approximation Method

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3.वोगल सन्निकटन विधि की 2 टिप्स (Frequently Asked Questions Related to 2 Tips of Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन विधि द्वारा परिवहन समस्या का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

वोगल सन्निकटन विधि की 2 टिप्स (2 Tips of Vogel Approximation Method) के
आधार पर परिवहन समस्याओं के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।